1樓:匿名使用者
(1)直接套用公式可得:
f(x)=f(0)+f′(0)x+1
2!f′(0)+… + 1n!f
(n)(0)+f
(n+1)
(ξ)(n+1)
,其中 ξ 在0和x之間.
(2)由(1)可得:∫a
?af(x)dx=∫a?a
f′(0)xdx+∫a?a
xx!f″(ξ)dx=∫a
?axx!f″(ξ)dx,
因為f(x)在[-a,a]上具有二階聯絡偏導數∫a?af′(0)xdx,
故f″(x)具有最大值和最小值,
設f″(x)最大值為m,最小值為m,
則 m≤f″(ξ)≤m,
所以:m2∫
a?axdx
≤∫ a
?af(x)dx=12∫
a?axf″(ξ)dx≤m2∫
a?axdx,
即:ma3≤∫
a?af(x)dx≤ma3,
即:m≤3a∫
a?af(x)dx≤m,
因為 f″(x)連續,
由連續函式的介值定理可得,至少存在一點η∈[-a,a],使得:
f″(η)=3a∫
a?af(x)dx,
即:af″(η) = 3∫ a?a
f(x)dx.
已知fx具有二階連續導數,gx為連續函式,且fx
由f x lncosx x0 g x?t dt lncosx x0 g u du,f 0 0,進一步可得 f x sinx cosx g x 於是lim x 0f x x lim x 0 1 cosx sinx x g x x 1?2 3,f 0 0,f 0 lim x 0f x f 0 x 3 0...
已知函式fx,y具有二階連續偏導數,且f1,yf
f x,y 是關於x,y的二元函式,以f 1,y 0為例,表示x 1時,f x,y 恆為0.fy 1,y 表示f x,y 對y的偏導數在x 1的值,也可以把f 1,y 看成是一個關於y的新函式,這樣fy 1,y 的導數就是0對於y的導數,自然是0.f x,1 同理 我覺得是因為 f x,1 恆等於0...
設函式f具有二階連續的偏導數,u f(xy,x y),求
由u f baixy,x y 兩邊對x求偏導,得du?u?x yf f zhi?u x?y y yf f f 1 y daoxf 11 f 12 xf 21 f 22 而函式版f具有二階連續的權偏導數,即f 12 f 21 u?x?y f 1 xyf 11 x y f 12 xf 22 設z xf ...