1樓：小冷
證明：①f（x）=lnx，f′（ξ）=1 ξ，x＜ξ＜y …（1分）（注1：只要構造出函式f（x）=lnx即給1分）故lny-lnx=y-x ξ
，又y-x y
＜y-x ξ
＜y-x x
…（*） …（2分）
即1-y x
＜lny-lnx＜y x
-1（0＜x＜y） …（3分）
②證明：由（*）式可得2-1 2
＜ln2-ln1＜2-1 1
，3-2 2
＜ln3-ln2＜3-2 2
，…n-(n-1) n
＜lnn-ln（n-1）＜n-(n-1)
n-1，…（6分）
上述不等式相加，得n
k-21 k
＜lnn＜n-1
k-11 k
（n＞1）…（8分）
（注：能給出疊加式中的任何一個即給（1分），能給出一般式n-(n-1) n
＜lnn-ln（n-1）＜n-(n-1)
n-1，給出2分）
（2）下證當n≥3時，等式f（x）-f（y）=f′（x+y 2）（x-y）不恆成立．
（注：能猜出n≥3時等式不恆成立即給1分）當n=1時，f（x）-f（y）=f′（x+y 2）（x-y）顯然成立．…（9分）
當n=2時，f（x）-f（y）=x2 -y2 =2（x+y 2）（x-y）=f′（x+y 2
）（x-y）．…（10分）
下證當n≥3時，等式f（x）-f（y）=f′（x+y 2）（x-y）不恆成立．
不妨設x=2，y=0，則已知條件化為：2n-1 =n． …（11分）
當n≥3時，2n-1 =（1+1）n-1 =c0n-1
+c1n-1
+…+c
n-1n-1
≥2+c
1n-1
=n+1＞n，…（13分）
因此，n≥3時方程2n-1 =n無解．
故n的所有可能值為1和2．…（14分）
（1）證明拉格朗日中值定理，若函式f（x）在[a，b]上連續，在（a，b）上可導，則ξ∈（a，b），得證f（b
2樓：匿名使用者
證明：（1）作輔助函式φ(x)＝f(x)?f(a)?f(b)?f(a)
b?a(x?a)，
易驗證φ（x）滿足：φ（a）=φ（b）=0；
又因為：φ（x）在閉區間[a，b]上連續，在開區間（a，b）內可導，且φ′
(x)＝f
′(x)?f(b)?f(a)
b?a．
根據羅爾定理，可得在（a，b）內至少有一點ξ，使φ′（ξ）=0，即：f′（ξ）-f(b)?f(a)
b?a=0
因此：f′（ξ）=f(b)?f(a)
b?a．ξ∈（a，b）
即：f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）．ξ∈（a，b）命題得證．
（2）任取x0∈（0，δ），則函式f（x）滿足：
在閉區間[0，x0]上連續，開區間（0，x0）內可導，根據拉格朗日中值定理可得：存在ξ
x∈(0，x
)?(0，δ)，使得f′(ξ
x)＝f(x
)?f(0)x?0
（*）又由於lim
x→+f
′(x)＝a，對上式（*式）兩邊取x
→+時的極限可得：f+′
(0)＝limx→+
f(x)?f(0)x?0
＝limx→+
f′(ξx
)＝limξx
→+f′(ξ
x)＝a故f+
′(0)存在，且f+′
(0)＝a．
設函式f(x)在區間[a,b]上連續，且f(a)
3樓：
令g(x)=f(x)-x，由題意知g(x)連續g(a)=f(a)-a<0,g(b)=f(b)-b>0∴g(a)g(b)<0
∴根據零點定理可以知道存在ξ∈(a,b),使得g(ξ)=0,即 f(ξ)-ξ =0，得證。
零點定理：
設函式f(x)在[a,b]上連續，且f(a)f(b)<0,則存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)=ξ
4樓：匿名使用者
證明：記f(x)=f(x)-x,顯然它在[a,b]上連續且f(a)=f(a)-a<0,f(b)=f(b)-b>0由連續函式介值定理知存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)=f(ξ)-ξ=0
即存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)=ξ，命題得證。
5樓：匿名使用者
高等數學，課本上好像有證明過程，以前證過，現在忘了！不好意思！
設函式f(x),在[a,b]上連續,在(a,b)內可導,且fx的導數不等於1，fa大於a,fb小於b
6樓：線玉蘭秋汝
樓上講：導數一bai定是恆為du正數或恆為負數是不對zhi的。
證明是dao這樣的：回
由於y=f(x)在
上連續，且答(a)f(b）<0，故f(x)=0在開區間（a，b）內至少有一個實根。現若
f(x)=0在開區間（a，b）至少有兩個實根x1,x2，由羅爾定理，至少存在c屬於（a，b），使f'(c)=0與題設矛盾。故方程f(x)=0在開區間（a，b）內有且僅有一個實根。
7樓：牟蝶孟胭
令f(x)=f(x)-g(x)
函式f(x),g(x)在
bai[a,b]上連續du,在(a,b)內可導zhi，所以函式f(x)在[a,b]上連續,在(a,b)內可導f(b)-f(a)=g(b)-g(a)得到：f(b)-g(b)=f(a)-g(a)，即
daof(b)=f(a)
由羅爾中值定理，至少存回
在一答個ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0，即f'(ξ)-g'(ξ)=0,即f'(ξ)=g'(ξ)
8樓：鄞曉藍賈夏
f'(x)=【f(x)(x－
baia)－∫(a,x)f(t)dt】du/(x－a)^zhi2＝【f(x)(x－a)－f(t0)(x－a)】/(x－a)^2＝【f(x)－f(t0)】/(x－a)
<=0，其中t0位於a和daox之間，因此由題意知道專屬f(x)是遞減的，故f(x)<=f(t0)。
設函式f（x）在區間[a,b]上連續，在(a,b)內可導，且∫(a,b)f(x)dx=f(b)(b-a).證明：在(a,b)內至少存在...
9樓：匿名使用者
∫(a,b)f(x)dx=f(b)-f(b)因此∫(a,b)f(x)dx=f(b)(b-a)<=>[f(b)-f(a)]/(b-a)=f(b)
由拉克朗日定理，存在ξ使：
[f(b)-f(a)]/(b-a)=f(ξ)ξ∈(a,b)
b>ξ>a
=>f(ξ)=f(b)
由l羅爾定理，存在ζ∈(ξ，b)使
f′(ζ)=0
ζ∈(ξ，b)=>ζ∈(a，b)因為ζ>ξ【改】
∫(a,b)f(x)dx=f(b)(b-a).
由積分中值定理
∫(a,b)f(x)dx=f(β)(b-a).
β∈（a,b）
所以f(β)=f(b)
由羅爾定理
f′(α)=0 α屬於（β，b）也就屬於（a,b）
希望能讓您滿意！
若函式fxax2bxc的導函式fx的圖象如圖
函式f x ax2 bx c的導函式f x 的圖象如圖所示,與x軸正半軸相內交於一點,可以容設為 m,0 且m 0,當x m,f x 0,f x 為增函式 當x 所以f x 在x m處取得極小值,a,b 存在極大值,不滿足 c 存在極小值,但是極值點的橫座標在x軸負半軸上,不滿足 d 在x正半軸上某...
若函式y fx滿足f（x 1）f（1 x），則函式fx的影象關於直線x 1對稱
是對的 因為對於任意x 1 x和1 x對應的函式值是相同的 所以fx關於x 1對稱 由題意知f x 0 又由影象關於直線x 1對稱 從而 x 1時 f x 取最小值.則f 1 2 1 a 2 從而f 1 2時取最小值.所以a 1又由.首先其判斷是錯誤的 設m x 1 n 1 x 函式f m 與f n...
若Fx在區間I上可導,則Fx一定連續嗎
是的 為可導的條件是 有定義,有極限且極限值等於函式值,連續 回所以若函式在某一點 答可導,則必連續。導數就是在函式影象上某一點的切線的斜率。那麼如果函式在這一點沒有定義,也就是說定義域中不包含這一點的話,顯然在這一點就沒有切線,也就是不可導 連續就是說函式影象沒有斷點,而是一條連續不斷的函式影象。...