1樓：淨壇使者
你真的要四個數字都是素數嗎？
素數，也叫質數，分解因數就只有自己和 1 ，沒有其他因數，
一般偶數都有公因數 2 ，例如 4 = 1 x 4 = 2 x 2 ，通常偶數就都是合數，
可是最小的偶數 2 相當特別，也只有 1 x 2 = 2 ，所以 2 也是質數，
而且 1 = 1 x 1 ，自然數 1 就既不是質數，也不是合數。
先看看 3" + 4" = 5" 這些勾股數吧，
3:4:5 ，5:12:13 ，7:24:25 ，9:40:41 ，11:60:61 ，
15:8:17 ，35:12:37 ……
在最簡比值的三個數字當中，都是一個偶數、兩個奇數，
或者說，都是一個奇數與一個偶數的平方和，
等於另一個奇數的平方。
看到5" + 12" = 13" 是 25 + 144 = 169 ，
35" + 12" = 37" 是 1225 + 144 = 1369 ，
就有12" = 13" - 5" = 37" - 35"
移項13" + 35" = 37" + 5"
這四個數字當中，
除了 35 = 5 x 7 是合數，
5、13、37 三個都是素數。
在許多不同的勾股數當中，
也都有相同的偶數，
看到21" + 20" = 29" 是 441 + 400 = 841 ，
99" + 20" = 101" 是 9801 + 400 = 10201 ，
偶數都是 20 ，
就有29" - 21" = 101" - 99"
移項，29" + 99" = 101" + 21"
這四個數字當中，
除了兩個合數 99 = 9 x 11 ，21 = 3 x 7 ，
其餘 29 和 101 都是素數。
還有，11" + 60" = 61" 是 121 + 3600 = 3721 ，
91" + 60" = 109" 是 8281 + 3600 = 11881 ，
偶數都是 60 ，
就有61" - 11" = 109" - 91"
移項，61" + 91" = 109" + 11"
這四個數字當中，
除了 91 = 13 x 7 是合數，
11、61、109 也是三個素數。
其實，這三組來自勾股數的結果，
13" + 35" = 37" + 5" ，
29" + 99" = 101" + 21" ，
61" + 91" = 109" + 11" ，
都是原先相等的平方差，移項變成了相等的平方和，
我們就不妨跳出勾股數，直接根據平方差，
來尋找 4個數字的結果。
兩個平方和，
5" + 5" = 7" + 1"
5" - 1" = 7" - 5"
( 5 - 1 )( 5 + 1 ) = ( 7 - 5 )( 7 + 5 )
4 x 6 = 2 x 12 = 24
倒過來，
72 = 4 x 18 = 2 x 36
( 11 + 7 )( 11 - 7 ) = ( 19 + 17 )( 19 - 17 )
11" - 7" = 19" - 17"
11" + 17" = 19" + 7"
這次的四個數字，就真的全部都是素數了
算一算121 + 289 = 361 + 49
410 = 410
沒錯，11" + 17" = 19" + 7"
而且 7 與 11、17 與 19 ，都是相鄰的兩個素數。
這樣，真要找到四個素數的結果，
方法就先拿兩個素數，寫成平方差，分解因式，
a" - b" = ( a - b )( a + b )
原來兩個素數 a 和 b ，必然都是奇數，
兩個奇數的和 ( a + b ) 是偶數，
兩個奇數的差 ( a - b ) 也是偶數，
得到兩個偶數的乘積 ( a - b )( a + b ) ，
再找到另外兩個偶數的因數，
新的兩個偶數，
一個就是另外兩個奇數的和 ( x + y ) ，
另一個又是這兩個奇數的差 ( x - y ) ，
( x + y ) + ( x - y ) = 2x
這兩個偶數的和，就是一個奇數的兩倍，
( x + y ) - ( x - y ) = x + y - x + y = 2y
這兩個偶數的差，就是另一個奇數的兩倍，
於是又可以變成兩個奇數的平方差，
就能夠移項得到奇數的平方和了，
也只有是奇數，才可能是素數啊。
根據這個結果
11" + 17" = 19" + 7"
我們就知道，四個素數也的確有可能。
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