f x x aln 1 x bxsinx,g x kx 3,當x 0時f x 與g x 等

2021-04-21 04:50:02 字數 1485 閱讀 8685

1樓:暴熊

^x趨近於來0時,把函源數f(x)到三階麥克bai勞林式得:

duzhif(x)=(1+a)x+(-a/2+b)x^dao2+(a/3)x^3+o(x^3)

於是得到等式1+a=0;-a/2+b=0;a/3=0得:a=-1,b=-1/2,k=-1/3;

已知函式f(x)=alnx+bx(a,b∈r),曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為x-2y-2=0.(1)求f(

2樓:匿名使用者

求函式解析式的方法一般就是通過建立方程把其中的引數解出來。

本題中,要確定的是a和b。

函式y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程已經給出,那就可以表示出過該點的切線方程的斜率,這個斜率是函式在該點的導數,這樣就建立了一個方程。

那個點也是在切線上的,這樣就又建立一個方程。

由以上兩個方程構成方程組,就可以解出a和b。

對f(x)求導,得f'(x)=a/x+b, f'(1)=a+b由切線方程知,k=1/2

所以,有a+b=1/2 (1)

由題意知,f(1)=aln1+b=b, 代入切線方程,得1-2b-2=0 ,即b=-1/2 (2)

將(2)代入(1)得a=1

f(x)=lnx-x/2

3樓:

解答:(1)解:∵f(x)=alnx+bx,∴f′(x)=ax+b.

∵直線x-2y-2=0的斜率為1

2,且曲線y=f(x)過點(1,-12),∴f(1)=?12f

′(1)=12,即

b=?1

2a+b=1

2,解得a=1,b=-12.

所以 f(x)=lnx-x2.

(2)解:由(1)得當x>1時,f(x)+kx<0恆成立即 lnx-x2+k

x<0,

等價於k<x

2?xlnx.

令g(x)=x

2?xlnx,則g′(x)=x-(lnx+1)=x-1-lnx.令h(x)=x-1-lnx,則h′(x)=1-1x=x?1x.

當x>1時,h′(x)>0,函式h(x)在(1,+∞)上單調遞增,故h(x)>h(1)=0.

從而,當x>1時,g′(x)>0,即函式g(x)在(1,+∞)上單調遞增,

故g(x)>g(1)=12.

因此,當x>1時,k<x

2?xlnx.恆成立,則k≤12.

∴k的取值範圍是(-∞,12].

(3)證明:由(2)知,當x>1時,f(x)<0(k=0),又 x=1時f(x)<0也成立,

所以當x≥1時,lnx<x

2,於是

ln1<1

2,ln2<2

2,ln3<3

2,…,lnn<n2,

上述各式相加得,ln(1×2×3×…×n)<1+2+3+…+n2,即lnn!<n(n+1)

4,∴n!<e

n(n+1)4.

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