1樓：cy辭言
向量數量積的幾何意義：一個向量在另一個向量上的投影。
定義兩向量的數量積等於其中一個向量的模與另一個向量在這個向量的方向上的投影的乘積
兩向量α與β的數量積α·β=|α|*|β|cosθ其中|α||β|是兩向量的模θ是兩向量之間的夾角(0≤θ≤π)
若有座標α(x1,y1,z1) β(x2,y2,z2)那麼 α·β=x1x2+y1y2+z1z2 |α|=sqrt(x1^2+y1^2+z1^2)|β|=sqrt(x2^2+y2^2+z2^2)
把|b|cosθ叫做向量b在向量a的方向上的投影
因此用數量積可以求出兩向量的夾角的餘弦cosθ=α·β/|α|*|β|
已知兩個向量a和b,它們的夾角為c,則a的模乘以b的模再乘以c的餘弦稱為a與b的數量積(又稱內積、點積。)
即已知兩個非零向量a和b,它們的夾角為θ,則數量|a||b|cosθ叫做a與b的數量積,記作a·b"·不可省略若用×則成了向量積
擴充套件內容：
向量積性質
幾何意義及其運用
叉積的長度 |a×b| 可以解釋成這兩個叉乘向量a,b共起點時，所構成平行四邊形的面積。據此有：混合積 [a b c] = (a×b)·c可以得到以a，b，c為稜的平行六面體的體積。
[1]
代數規則
1.反交換律：a×b= -b×a
2.加法的分配律：a× (b+c) =a×b+a×c
3.與標量乘法相容：(ra) ×b=a× (rb) = r(a×b)
4.不滿足結合律，但滿足雅可比恆等式：a× (b×c) +b× (c×a) +c× (a×b) =0
5.分配律，線性性和雅可比恆等式別表明：具有向量加法和叉積的 r3 構成了一個李代數。
6.兩個非零向量a和b平行，當且僅當a×b=0。 [1]
拉格朗日公式
這是一個著名的公式，而且非常有用：
(a×b)×c=b(a·c) -a(b·c)
a× (b×c) =b(a·c) -c(a·b),
證明過程如下：
二重向量叉乘化簡公式及證明
可以簡單地記成「bac - cab」。這個公式在物理上簡化向量運算非常有效。需要注意的是，這個公式對微分運算元不成立。
這裡給出一個和梯度相關的一個情形：
這是一個霍奇拉普拉斯運算元的霍奇分解的特殊情形。
另一個有用的拉格朗日恆等式是：
這是一個在四元數代數中範數乘法 | vw | = | v | | w | 的特殊情形。 [2]
矩陣形式
給定直角座標系的單位向量i，j，k滿足下列等式：
i×j=k；
j×k=i ；
k×i=j ；
通過這些規則，兩個向量的叉積的座標可以方便地計算出來，不需要考慮任何角度：設
a= [a1, a2, a3] =a1i+ a2j+ a3k；
b= [b1,b2,b3]=b1i+ b2j+ b3k ；
則a × b= [a2b3-a3b2,a3b1-a1b3, a1b2-a2b1]。
叉積也可以用四元數來表示。注意到上述i，j，k之間的叉積滿足四元數的乘法。一般而言，若將向量 [a1, a2, a3] 表示成四元數 a1i+ a2j+ a3k，兩個向量的叉積可以這樣計算：
計算兩個四元數的乘積得到一個四元數，並將這個四元數的實部去掉，即為結果。更多關於四元數乘法，向量運算及其幾何意義請參看四元數（空間旋轉）。 [2]
高維情形
七維向量的叉積可以通過八元數得到，與上述的四元數方法相同。
七維叉積具有與三維叉積相似的性質：
雙線性性：x× (ay+ bz) = ax×y+ bx×z；(ay+ bz) ×x= ay×x+ bz×x；
反交換律：x×y+y×x= 0；
同時與 x 和 y 垂直：x· (x×y) =y· (x×y) = 0；
拉格朗日恆等式：|x×y|² = |x|² |y|² - (x·y)²；
不同於三維情形，它並不滿足雅可比恆等式：x× (y×z) +y× (z×x) +z× (x×y) ≠ 0。
2樓：匿名使用者
簡單講，倆個平面向量的數量積，等於向量1在向量2上的投影長度乘以向量2的長度。結果是一個數
3樓：毛果芽
定義：向量的點積又稱數量積，是將兩個向量對應位一一相乘之後再求和所得的數值。
對於向量a和向量b：
點積為一標量。
幾何意義
點積可以用來求兩個向量之間的夾角。
當兩向量垂直時，點積為0。
當兩非零向量間的夾角<90度時，點積大於0。
當兩非零向量間的夾角》90度時，點積小於0。
向量的點積在與圖形學相關的計算機程式設計中應用非常廣泛。
4樓：匿名使用者
物理上可表示力所做的功，即移動方向上的力的大小與位移的距離的乘積。
向量點積幾何意義是什麼?
5樓：匿名使用者
向量乘積分為點乘和叉乘 點乘的物理意義表示已知向量a和向量b，它們的點積a•b=︱a︱︱b︱cosθ，其中 θ是a，b的夾角。在物理裡，
點積用來表示力所作的功。當力f與質點的位移s有夾角θ時，力f所作的功w=︱f︱︱s︱cosθ
=f•s，功是數量，故點積又稱數量積，無向積等（無幾何意義）
6樓：受語兒零禎
點乘，也叫向量的內積、數量積。顧名思義，求下來的結果是一個數點積可以來計算兩向量的夾角,公式如下:
cos(v^w)
=v.w/|
v||w
|點乘的幾何意義是：是一條邊向另一條邊的投影乘以另一條邊的長度。
向量數量積有什麼意義
7樓：匿名使用者
向量的數量積是定義在 向量空間 上的最基本運算，有了數量積，【線性空間】就可以成為【歐氏空間】，對空間中的向量定義了數量積（內積），即賦予了空間中的元素以【長度】和【夾角】等度量性質，
|a|^2=a.a
cos=a.b/|a||b|。
因此，數量積是歐氏空間的本質屬性，你現在是隻在2維或3維座標空間中討論，對度量性質已預設接受，反過來對數量積的必要性就不好理解。但對一般抽象空間通常我們只定義其數量積，但由此可得到其所有相關的度量，那時你就好理解了。
即使對非專業的同學而言，比如以後學習到線性代數 或 高等數學中的 切線、切平面、第二型曲線、曲面積分等等的定義和計算都是以 數量積 作為幾何基礎的。
向量積的幾何意義是什麼?不是數量積.
8樓：希望在田壩壩
向量的向量積表示的是兩個向量的叉乘，結果是一個向量，其方向為垂直於已知兩向量的那個平面，它的模等於已知兩向量模的積乘以已知兩向量夾角的正弦。
9樓：飛天蜀黍
別聽丫扯，幾何意義就是一個垂直於兩向量組成的平面的向量，其方向符合右手系，模為兩向量的模的積成sin向量夾角，另外，兩向量積的模為以這兩向量為林邊的菱形的面積
10樓：匿名使用者
向量a與向量b向量積的幾何意義是以a、b為稜的平行四邊形的面積。
11樓：匿名使用者
是以這兩個向量為稜的平行四邊形的面積
12樓：
平面向量數量積的運算及幾何意義是高中數學重要內容，它有著廣泛應用。它是繼向量的加、減法，實數與向量的積等運算之後又一新的運算，是前面知識的延續，又是學好後續知識的基礎（如兩點間距離公式，正、餘弦定理，點到直線的距離等），起承上啟下的作用。向量的數量積是一種新的運算，要準確理解其意義，兩個非零向量垂直的充要條件是判斷向量垂直的工具，有較強的應用價值；向量數量積是不同於數的運算的一種新的運算，在處理起點不在同一點的向量夾角時容易遇到障礙；夾角是學習向量數量積的定義及幾何意義的基礎。
向量數量積公式是什麼
13樓：網管愛好者
已知兩個非零向量a、b，那麼|a||b|cosθ（θ是a與b的夾角）叫做a與b的數量積或內積。記作a·b。兩個向量的數量積等於它們對應座標的乘積的和。
即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a·b=x1·x2+y1·y2
向量的數量積公式：a*b=|a||b|cosθ,a,b表示向量，θ表示向量a,b共起點時的夾角，很明顯向量的數量積表示數，不是向量。
一個向量和另個向量在這個向量上的投影的乘積，前提始位置要相同。
[擴充套件資料]
數量積的性質
設a、b為非零向量，則
①設e是單位向量，且e與a的夾角為θ，則e·a=a·e=|a|cosθ
②a⊥b=a·b=0
③當a與b同向時，a·b=|a||b|；當a與b反向時，a·a=|a|2=a2或|a|=√a·a
④|a·b|≤|a|·|b|，當且僅當a與b共線時，即a∥b時等號成立
⑤cosθ=a·b╱|a||b|（θ為向量a.b的夾角）
⑥零向量與任意向量的數量積為0。
向量數量積的運算律
⑴交換律：a·b=b·a
⑵數乘結合律：（λa）·b=λ（a·b)=a·（λb）
⑶分配律：（a+b）·c=a·c+b·c
平面向量數量積的幾何意義
①一個向量在另一個向量方向上的投影
設θ是a、b的夾角，則|b|cosθ叫做向量b在向量a的方向上的投影，|a|cosθ叫做向量a在向量b方向上的投 影。
②a·b的幾何意義
數量積a·b等於a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積
★注意：投影和兩向量的數量積都是數量，不是向量。
③數量積a·b的幾何意義是：a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積。
14樓：楊高嶺之花
公式：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a·b=x1·x2+y1·y2。
資料擴充套件：
1.數量積的性質
設a、b為非零向量，則
①設e是單位向量，且e與a的夾角為θ，則e·a=a·e=|a|cosθ
②a⊥b=a·b=0
③當a與b同向時，a·b=|a||b|；當a與b反向時，a·a=|a|2=a2或|a|=√a·a
④|a·b|≤|a|·|b|，當且僅當a與b共線時，即a∥b時等號成立。
⑤cosθ=a·b╱|a||b|（θ為向量a.b的夾角）。
⑥零向量與任意向量的數量積為0。
2.向量數量積的運算律
編輯⑴交換律：a·b=b·a
⑵數乘結合律：（λa）·b=λ（a·b)=a·（λb）
⑶分配律：（a+b）·c=a·c+b·c
15樓：記憶e偶爾雨
（1）定義：a*b=|a|*|b|*cosθ ,其中 θ 是向量 a、b 的夾角.
（2）公式：如果向量 a、b 的座標分別是（a1,a2,.,an）、（b1,b2,.,bn）,那麼 a*b=a1b1+a2b2+.+anbn .
向量數量積的基本性質
設ab都是非零向量θ是a與b的夾角則
① cosθ=a·b/|a||b|
②當a與b同向時a·b=|a||b|當a與b反向時a·b=-|a||b|
③ |a·b|≤|a||b|
④a⊥b=a·b=0適用在平面內的兩直線
向量數量積運算規律
1.交換律α·β=β·α
2.分配律(α+β)·γ=α·γ+β·γ
3.若λ為數(λα)·β=λ(α·β)=α·(λβ)若λμ為數(λα)·(μβ)=λμ(α·β)4.α·α=|α|^2 此外α·α=0=α=0向量的數量積不滿足消去律即一般情況下α·β=α·γα≠0 ≠β=γ向量的數量積不滿足結合律即一般α·β)·γ ≠α·β·γ相互垂直的兩向量數量積為0
平面向量中的向量的數量積和向量積是什麼，有什麼
向量積 帶方來向 也被稱為向量積自 叉積 即交叉乘積 外積,是一種在向量空間中向量的二元運則差算.與點積不同,它的運算結果是一個偽向量而不是一個標量.並且兩個向量的叉積與這兩個向量都尺茄垂直.叉積的長度 a b 可以解釋成以 a 和 b 為邊的平行四邊形的面積.a b cos 一個簡單的確定滿足 右...
請問向量的數量積如何計算,向量的數量積和向量積是怎麼算的？如果告訴你向量Aa,bBc,d
數量級也叫標積，其運算結果是標量 運演算法則是a b c b c cos 大寫字母代表向量 向量 小寫字母代表相應向量的摩，代表兩向量間夾角。是乘號，書寫時應用點，故數量積運算在口語中經常被稱為 點乘 向量積也叫矢積，其運算結果是向量 運演算法則是a b c b c sin 方向為右手螺旋，即右手握...
向量積和數量積的書寫區別？謝謝,向量積和數量積的區別和含義
向量積 數量積用 a b向量積表示與a,b都垂直的向量，數量積是個數 向量積是叉乘x，數量積是點乘 數量積的結果是數值，向量積的結果仍然是向量。向量積和數量積的區別和含義 向量積 帶方向 也被稱為向量積 叉積 即交叉乘積 外積，是一種在向量空間中向量的二元運算。與點積不同，它的運算結果是一個偽向量而...