1樓：老虎二哥
答：從定積分的定義去理解：
它是一個極限，你看一下這個極限是怎麼來的，就是把你積分的區間分成n份，然後在每個區間內任意取f（x)（看圖，它相當於矩形的寬），然後用這個f（x)乘以這個區間的長度（看圖，它相當於矩形的長，只不過是與該曲線和x軸圍城的面積近似），最後把整個n份（也就是n個矩形的面積）加起來，不就是得到了整個積分割槽間上的與原曲邊和x軸圍城的面積的近似值，最後就是取極限將n趨向無窮，那麼這樣就表示面積了。
2樓：匿名使用者
因為導數可以看作原函式在每個點的「差」，積分可以看作是求和，所以當你對導函式去積分就相當於把各個點作的「差」又加起來了，最後的結果就是原函式在兩頭的差了。可以用人上樓梯的過程進行類比。
為什麼不定積分的幾何意義是曲線 而定積分的幾何意義是面積？
3樓：失落的記憶
簡單點說，不定積分就是面積函式；定積分就是對應的面積函式的函式值（但它由兩個自變數決定）。
這個「不定積分的幾何意義是曲線」裡的曲線就是面積函式的影象（曲線簇）。
4樓：匿名使用者
不定積分求得只是原函式，定積分求的是一個原函式的兩個值之差，是個數值
5樓：
因為不定積分相當於一個函式，它求導就是被積分函式，一個函式的幾何意義當然是曲線；而定積分函式是一個確定的值，它的幾何意義即表示積分割槽間與被積函式圍成的面積之和。
為什麼定積分求面積就是導數的原函式區間差？
6樓：千歲
導函式是原函式在任意點的斜率構成的函式。
本質上就是△ y/△ x構成的。
對導函式求面積就相當於n個高為△ y/△ x，寬為△ x的矩形的面積的和。
也就成了n個△ y的和。
n個△ y的和到了原函式裡就成了y的差值。
所以本質上對導函式求面積就是求原函式的差值。當然，會有一些限制之類的。
外加，需要數學證明。
證明高數書上有。
定積分求面積不懂的話，估計導數和導函式也不不太懂吧。。。
說白了，全都是極限思想的運用。
7樓：奧七馬
基本原理求導不是有a趨向b時，f（b）-f（a）/b-a可以等於a點斜率嗎？當a趨向b時，f（b）-f（a）=f*（a）（b-a）這裡先擱置一會。
來看看另一條函式g（x）
現在曲線g（x）以下有很多又矩形組成棒子拼滿了我將要求的面積，首先我們設矩形貼x軸部分的寬為xn-xn-1，高為g（xn）【注意這裡我是把矩形靠左的邊做高，有些是用矩形中分做高】，那麼矩形面積為（xn-xn-1）（gxn），再把一個個矩形都加起來，就是（x1-x0）（gx1）+（x2-x1）g（x2）+...（xk-xk-1）g（xk）
我現在告訴你其實
g（x）為f（x）的導數
所以從我一開始講的基本原理合並得出以下結論：g（x1）（x1-x0）=f*（x0）f（x1-x0）=f（x1）-f（x0）
，x1為上限，x0為下限
再詳細一步推導：
由合併後的關係來看有人可能只看出一個小矩形的面積，因為我用了x0-x1，那正好來個求和吧，顯得更全面清晰，對f（xn-1）-f（xn）x0到x3來求和
下面你會發現有會有這樣的情況，懶得打括號了...
（fx1-fx0）+（fx2-fx1）+（fx3-fx2）=fx3-fx0
因為我說gx=f*x
所以gx的積分就是fx，那麼如果下限到上限是0到3，就會有以上結果，所以導數的原函式的差=定積分所求面積。
大概思想就是這樣吧，我沒學高數，這是聽一個老師說的，我覺得這想法挺直觀才拿出來的。
8樓：匿名使用者
用定積分的幾何意義，及牛頓萊布尼茨公式，可得。
9樓：匿名使用者
y=f(x)的一個原函式y=g(x),則有dg(x)/dx=df(x)
求y=f(x)在區間[a,b]的面積，微分dx,df(x)
對所有dxdf(x)積分就是y=f(x)在區間上的面積，為∫[a,b]dxdf(x)=∫[a,b]dg(x)=g(b)-g(a)
10樓：西域牛仔王
請檢視牛頓-萊布尼茲公式 。
11樓：匿名使用者
請看最開始高等數學書上定積分的引用部分
就是用來處理函式一段區間內的面積的
具體請看網頁連結
12樓：匿名使用者
牛頓 —萊布尼茨公式
13樓：匿名使用者
這就是牛頓-萊布尼茨公式啊
書上都有證明的
你沒學過嗎
14樓：匿名使用者
定積分除以區間(a到b)的實際意義為原函式區間斜率的平均值，而原函式的差除以區間(a到b)的實際意義也是原函式區間斜率的平均值，即兩個式子表示的意義是一樣的
為什麼定積分的幾何意義是面積
15樓：匿名使用者
∫ydx y的意義是長度 x的意義是長度 積分的意義當然是面積 類似∑yxi
經過牛頓萊布尼茨公式計算過後，得到的值憑什麼是a-b段函式圍起來的面積 這個問題可以這樣理解：設常數c＜a＜b 使a為變數，那麼ca段的面積s1是y的原函式中的一個（各階導數相同則函式相同） 同樣使b為變數 cb段面積s2也是y的一個原函式 而且s1和s2形式相同（任意a=b時，s1=s2)
因此ab段面積=s2-s1=f（b)-f（a)
16樓：冰海飄星
因為它是將曲線與某一座標軸分成若干個小矩形面積的和，根據定積分的定義再結合書上的例題就可以知道了，其實在高中只要記住你說的哪一點就行了，高考時一般就讓你求這個，不會太難
17樓：仉茂貢茗雪
1 當f(x)大於等於0時
積分表示的是x軸上方的曲邊梯形面積
2 則相反3如果
在區間內有正負值
則x軸上方面積為正下方為負
當被積函式有正有負的時候， 定積分的幾何意義是什麼？？？？怎麼求被積函式所圍的面積？是分開求嗎？
18樓：忽然想到
既然要求求面積，就要分開求。積分是一種演算法工具，當有正負時，它只會抵消，它就是個演算法工具，，，，
19樓：黑白
意義嘛，就是沒什麼意義。所謂的幾何意義都是幫助初學者理解的。。。面積當然都是正的塞~~但是積分的時候如果函式的影象在y軸下面，積分的結果就是負的，但是如果是純的數學計算的時候不用正負分開，如果是代表了具體的物理意義就要是情況而定。
定積分的幾何意義是什麼
20樓：angela韓雪倩
定積分的幾何意義是被積函式與座標軸圍成的面積，x軸之上部分為正，x軸之下部分為負，根據cosx在[0, 2π]區間的影象可知，正負面積相等，因此其代數和等於0。
定積分是積分的一種，是函式f(x)在區間[a,b]上的積分和的極限。
這裡應注意定積分與不定積分之間的關係：若定積分存在，則它是一個具體的數值（曲邊梯形的面積），而不定積分是一個函式表示式，它們僅僅在數學上有一個計算關係（牛頓-萊布尼茨公式），其它一點關係都沒有！
一個函式，可以存在不定積分，而不存在定積分；也可以存在定積分，而不存在不定積分。一個連續函式，一定存在定積分和不定積分；若只有有限個間斷點，則定積分存在；若有跳躍間斷點，則原函式一定不存在，即不定積分一定不存在。
21樓：yzwb我愛我家
定積分的幾何意義就是求函式f(x)在區間[a,b]中圖線下包圍的面積。即由y=0,x=a,x=b,y=f(x)所圍成圖形的面積。
具體如下圖所示：
22樓：雅默幽寒
如果對一個函式f(x)在a~b的範圍內進行定積分
則其幾何意義是該函式曲線與x=a,x=b,y=0這三條直線所夾的區域的面積,其中在x軸上方的部分的面積為正值,反之,面積為負值
23樓：浪子索隆
高中數學之定積分以及微積分的學習
24樓：匿名使用者
幾何意義不太好說，其實說幾何，就是圖形，二維或者三圍，就是求面積，或者體積
積分的幾何意義是面積，可通過求原函式來算，為什麼可通過原函式算，這個結果怎麼推到的呀，書上無過程
25樓：匿名使用者
定積分的幾何意義不是面積。
定積分的幾何意義是面積的代數和。
定積分可通過求原函式來算，
這個結果見於【微積分基本公式】，
也叫【牛頓—萊布尼茨公式】。
該公式定理的證明書上有。
為什麼定積分等於函式面積，坐等高手解答
26樓：江淮一楠
微積分的兩大部分是微分與積分。一元函式情況下，求微分實際上是求一個已知函式的導數，而積分是已知一個函式的導數，求原函式。所以，微分與積分互為逆運算。
分劃的引數趨於零時的極限，叫做這個函式在這個閉區間上的定積分。
不定積分：即已知導數求原函式。若f′（x)=f(x)，那麼[f(x)+c]′=f(x).
(c∈r).也就是說，把f(x)積分，不一定能得到f(x），因為f(x)+c的導數也是f(x）（c是任意常數）。所以f(x）積分的結果有無數個，是不確定的。
我們一律用f(x)+c代替，這就稱為不定積分。即如果一個導數有原函式，那麼它就有無限多個原函式。
定積分 （definite integral）：定積分就是求函式f(x）在區間[a,b]中圖線下包圍的面積。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(x）所圍成圖形的面積。
這個圖形稱為曲邊梯形，特例是曲邊三角形。
定積分2定義
設函式f(x) 在區間[a,b]上連續，將區間[a,b]分成n個子區間[a,x0],(x0,x1],(x1,x2],…,(xi,b]，可知各區間的長度依次是：△x1=x0-a，△x2=x1-x0,…，△xi=b-xi.在每個子區間（xi-1,xi）任取一點ξi(i=1,2,…,n），作和式（見右下圖），設λ=max(即λ屬於最大的區間長度），則當λ→0時，該和式無限接近於某個常數，這個常數叫做函式f(x) 在區間[a,b]的定積分，記為（見右下圖）：
其中：a叫做積分下限，b叫做積分上限，區間[a，b]叫做積分割槽間，函式f(x) 叫做被積函式，x 叫做積分變數，f(x)dx 叫做被積表示式，∫ 叫做積分號。
之所以稱其為定積，定積分是因為它積分後得出的值是確定的，是一個數， 而不是一個函式。
3黎曼積分：定積分的正式名稱是黎曼積分。用黎曼自己的話來說，就是把直角座標系上的函式的圖象用平行於y軸的直線把其分割成無數個矩形，然後把某個區間[a,b]上的矩形累加起來，所得到的就是這個函式的圖象在區間[a,b]的面積。
實際上，定積分的上下限就是區間的兩個端點a,b.
我們可以看到，定積分的本質是把圖象無限細分，再累加起來，而積分的本質是求一個函式的原函式。它們看起來沒有任何的聯絡，那麼為什麼定積分要寫成積分的形式呢？
4分點問題：定積分是把函式在某個區間上的圖象[a,b]分成n份，用平行於y軸的直線把其分割成無數個矩形，再求當n→+∞時所有這些矩形面積的和。習慣上，我們用等差級數分點，即相鄰兩端點的間距δx是相等的。
但是必須指出，即使δx不相等，積分值仍然相同。我們假設這些「矩形面積和」s=f(x1）δx1+f(x2）δx2+……f[x(n-1)]δx(n-1），那麼當n→+∞時，δx的最大值趨於0，所以所有的δx趨於0，所以s仍然趨於積分值.
利用這個規律，在我們瞭解牛頓-萊布尼茲公式之前，我們便可以對某些函式進行積分。例如我們可以證明對於函式f(x)=x^k（k∈q，k≠-1），有f(x)dx=(b^(k+1)-a^(k+1))/(k+1)。
我們選擇等比級數來分點，令公比q=n^√（b/a），則b/a=q^n，b=aq^n。令分點x0=a,x1=aq,x2=aq^2……xn=aq^n=b，因為f(xj)=xj^k=a^k*q^jk，且δxj=x(j+1)-xj=aq^(j+1)-aq^j 那麼「矩形面積和」
sn=a^k*(aq-a)+a^k*q^k*(aq^2-aq)+a^k*q^2k*(aq^3-aq^2)+……+a^k*q^(n-1)k*[aq^n-aq^(n-1)]
提出a^k*(aq-a），則
sn=a^(k+1)*(q-1)*[1+q^(k+1)+q^2(k+1)+……q^(n-1)(k+1)]
利用等比級數公式，得到
sn=(q-1)/(q^(k+1)-1)*(b^(k+1)-a^(k+1))=(b^(k+1)-a^(k+1))/n
其中n=(q^(k+1)-1)/(q-1），設k=u/v(u,v∈z），令q^(1/v)=s，則
n=(s^(k+1)v-1)/(s^v-1)=(s^u+v-1)/(s^v-1)=((s^(u+v)-1)/(s-1))/((s^v-1)/(s-1))
令n增加，則s,q都趨於1，因而n的極限為（u+v)/v=u/v+1=k+1.
5性質①：常數可以提到積分號前。
性質②：代數和的積分等於積分的代數和。
③：定積分的可加性：如果積分割槽間[a,b]被c分為兩個
子區間[a,c]與（c,b]則有（見右圖）
④risch 演算法
⑤如果在區間[a,b]上，f(x)≥0,則f(x)dx≥0
6常用演算法
換元法（1）f(x)∈c([a,b]);
(2)x=ψ(t)在[α,β]上單值、可導;
(3)當α≤t≤β時，a≤ψ(t)≤b,且ψ（α）=a,ψ(β)=b,
則f(x)dx=f(ψ(t))ψ′(t)dt
分部積分法
設u=u(x),v=（x)均在區間[a,b]上可導，且u′，v′∈r（[a,b]),則有分部積分公式
uv′dx= uvvu′dx
7基本定理
定積分與不定積分看起來風馬牛不相及，但是由於一個
數學上重要的理論的支撐，使得它們有了本質的密切關係。把一個圖形無限細分再累加，這似乎是不可能的事情，但是由於這個理論，可以轉化為計算積分。這個重要理論就是大名鼎鼎的牛頓-萊布尼茲公式，它的內容是：
如果f(x)是[a,b]上的連續函式，並且有f′（x)=f(x），那麼 f(x)dx=f(b)-f(a)
用文字表述為：一個定積分式的值，就是上限在原函式的值與下限在原函式的值的差。
正因為這個理論，揭示了積分與黎曼積分本質的聯絡，可見其在微積分學以至更高等的數學上的重要地位，因此，牛頓-萊布尼茲公式也被稱作微積分基本定理。
8應用1，解決求曲邊圖形的面積問題
例：求由拋物線y^2=4x與直線y=2x-4圍成的平
定積分的應用(4張)
面圖形d的面積s.
2，求變速直線運動的路程
做變速直線運動的物體經過的路程s，等於其速度函式v=v(t) (v(t）≥0）在時間區間[a,b]上的定積分。
3，變力做功
某物體在變力f=f(x）的作用下，在位移區間[a,b]上做的功等於f=f(x）在[a,b]上的定積分。（見圖冊「應用」）
9定理定理1：設f(x）在區間[a,b]上連續，則f(x）在[a,b]上可積。
定理2：設f(x）在區間[a,b]上有界，且只有有限個間斷點，則f(x）在[a,b]上可積。
定理3：設f(x）在區間[a,b]上單調，則f(x）在[a,b]上可積。
定積分的幾何意義。判斷定積分的正負
如果被積函式在積分割槽間總大於零，積分割槽間上限大於下限，則定積分為正，因為表示的是積分函式年在積分上下限間與x軸圍成的一個面積 如果被積函式在積分割槽間總小於零，積分割槽間上限大於下限，則定積分為負 定積分就是求函式f x 在區間 a,b 中圖線下包圍的面積。即y 0 x a x b y f x ...
利用定積分的幾何意義，不計算如何判斷定積分的正負
定積分就是求函式f x 在區間 a,b 中圖線下包圍的面積。即y 0 x a x b y f x 所包圍的面積。這個圖形稱為曲邊梯形。這個圖形 即函式與x軸所圍圖形 在x軸上方，則定積分為正值，反之則為負。定積分的幾何意義是曲線與x軸圍成的面積，在x軸下方為負，上方為正 怎樣利用定積分的幾何意義判斷...
利用定積分的幾何意義，求下列積分的值,謝謝啦，最好詳細點，不
第一題是y 1 x，是一個三角形，端點是 0,0 1,0 0,1 第二題是半圓，圓心是 2,0 半徑為2。x 1 2x 2直接積分就好 利用定積分的幾何意義，計算下列定積分 y 9 x x y 9 且y 9 x 0 所以是圓在x軸上方的部分 所以是半圓 且積分限 3到3，所以是整個半圓 半徑是3 所...