1樓：尹六六老師
根據拉格朗日中值定理，
存在η1∈(0，ξ)，使得，
f '(η1)=f(ξ)/ξ=(1-ξ)/ξ存在η2∈(ξ，1)，使得，
f '(η2)=[f(1)-f(ξ)]/(1-ξ)=ξ/(1-ξ)相乘即可。
2樓：探索瀚海
中值定理
中值定理是反映函式與導數之間聯絡的重要定理，也是微積分學的理論基礎，在許多方面它都有重要的作用，在進行一些公式推導與定理證明中都有很多應用。
簡介函式與其導數是兩個不同的的函式；而導數只是反映函式在一點的區域性特徵；如果要了解函式在其定義域上的整體性態，就需要在導數及函式間建立起聯絡，微分中值定理就是這種作用。微分中值定理，包括羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理。是溝通導數值與函式值之間的橋樑，是利用導數的區域性性質推斷函式的整體性質的工具。
以羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理組成的一組中值定理是一整個微分學的理論基礎。拉格朗日中值定理，建立了函式值與導數值之間的定量聯絡，因而可用中值定理通過導數去研究函式的性態；中值定理的主要作用在於理論分析和證明；同時由柯西中值定理還可匯出一個求極限的洛必達法則。中值定理的應用主要是以中值定理為基礎，應用導數判斷函式上升，下降，取極值，凹形，凸形和拐點等項的重要性態。
從而能把握住函式圖象的各種幾何特徵。在極值問題上也有重要的實際應用。
微積分學基本定理指出，求不定積分與求導函式互為逆運算[把上下限代入不定積分即得到積分值，而微分則是導數值與自變數增量的乘積]，這也是兩種理論被統一成微積分學的原因。我們可以以兩者中任意一者為起點來討論微積分學，但是在教學中，微分學一般會先被引入。
類別拉格朗日中值定理
中值定理是微積分學中的基本定理，由四部分組成。
內容是說一段連續光滑曲線中必然有一點，它的斜率與整段曲線平均斜率相同（嚴格的數學表達參見下文）。中值定理又稱為微分學基本定理，拉格朗日定理，拉格朗日中值定理，以及有限改變數定理等。
內容如果函式f(x）滿足
在閉區間[a,b]上連續；
在開區間(a,b）內可導，
那麼在（a,b）內至少有一點ξ（a<ξ f(b)-f(a)=f′（ξ）（b-a) 成立。羅爾定理 內容如果函式f(x）滿足 在閉區間[a,b]上連續； 在開區間（a,b）內可導； 在區間端點處的函式值相等，即f(a)=f(b）， 那麼在（a,b）內至少有一點ξ（a<；ξ 補充如果函式f(x）滿足： 在閉區間[a,b]上連續； 在開區間（a,b）內可導； 在區間端點處的函式值相等，即f(a)=f(b）， 那麼在（a,b）內至少有一點ξ（a<ξ 幾何上，羅爾定理的條件表示，曲線弧 （方程為）是一條連續的曲線弧 ，除端點外處處有不垂直於 軸的切線，且兩端點的縱座標相等。而定理結論表明， 弧上至少有一點 ，曲線在該點切線是水平的.： 柯西如果函式f(x）及f(x）滿足 ⑴在閉區間[a,b]上連續； ⑵在開區間（a,b）內可導； 中值定理 ⑶對任一x(a,b），f'(x)!=0 那麼在（a,b) 內至少有一點ξ，使等式[f(b)-f(a)]/[f(b)-f(a)]=f'（ξ）/f'（ξ）成立。 也叫cauchy中值定理。 設函式f(x),g(x）在[a,b]上連續，在（a、b）內可導，且g'(x）≠0(x∈（a,b）），則至少存在一點，ξ∈（a,b），使得 f'（ξ）/g'（ξ）=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]成立。 若令u=f(x),v=g(x），這個形式可理解為引數方程，而[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)]則是連線引數曲線的端點斜率，f'（ξ）/g'（ξ）表示曲線上某點處的切線斜率，在定理的條件下，可理解如下：用引數方程表示的曲線上至少有一點，它的切線平行於兩端點所在的弦，這一點lagrange也具有，但是cauchy中值定理除了適用y=f(x）表示的曲線，還適用於引數方程表示的曲線。 當柯西中值定理中的g(x)=x時，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。 令f(x)=f(x)-[f(a)-f(b)]g(x)/[g(a)-g(b)] ∵f(a)=f(b)=[f(a)g(b)-f(b)g(a)]/[g(b)-g(a)] 由羅爾定理知，存在ξ∈（a,b），使得f'（ξ）=0. 又知f'(x)=f'(x)-[f(a)-f(b)]g'(x)/[g(a)-g(b)] ∴f'（ξ）-[f(a)-f(b)]g'（ξ）/[g(a)-g(b)]=0 即f'（ξ）/g'（ξ）=[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)] 命題得證。 這道高數題怎麼解，有關中值定理的？ 3樓：心飛翔 [e^xf(x)]'=e^x[f(x)+f'(x)], 對e^xf(x)在區間[a,b]上用拉格朗日中值定理, 存在d∈(a,b), 使得 e^d[f(d)+f'(d)]=(e^bf(b)-e^af(a))/(b-a) 即e^d[f(d)+f'(d)]=(e^b-e^a)/(b-a) ① 再對e^x在區間[a,b]上用拉格朗日中值定理, 存在c∈(a,b), 使得 (e^b-e^a)/(b-a)=e^c ② 有①②得 e^d[f(d)+f'(d)]=e^c 即e^[f(d)+f'(d)]=1 不知道是不是你打錯了，我的是e^而不是e^ 4樓：西域牛仔王 [f(1) - f(0)] / (1 - 0)＝ - 1/2， f'(ξ)＝ - ξ ＝ - 1/2， 所以 ξ＝1/2。 高等數學 方向導數與梯度_(:з)∠)_ 求問這個的第二小問 解答看不懂qaq 5樓：匿名使用者 您好，答案如圖所示： 你可以理解為它們是重疊的 要求下降最快的方向，就是計算梯度 所以可取梯度方向為切線的方向，即他們是平行關係的很高興能回答您的提問，您不用新增任何財富，只要及時採納就是對我們最好的回報 。若提問人還有任何不懂的地方可隨時追問，我會盡量解答，祝您學業進步，謝謝。 ☆⌒_⌒☆ 如果問題解決後，請點選下面的「選為滿意答案」 中值定理的應用 具體解題步驟 6樓：尹六六老師 設f(x)=lnx 則，f'(x)=1/x 應用柯西中值定理有 [f(b)-f(a)]/(lnb-lna)=f '(ξ)/(1/ξ) =ξ·f '(ξ) 羅爾中值定理是 如果 r 上的函式 f x 滿足以下條件 1 在閉區間 a,b 上連續，2 在開區間 a,b 內可導，3 f a f b 則至少存在一個 a,b 使得 f 0。因此，需要根據證明的結論構造出滿足條件的函式令 g x f x f 1 x f x f 1 x 兩邊積分可以得到 g x f... 這個定理的幾何意義為 若，則由軸 及曲線圍成的曲邊梯形的面積等於一個長為，寬為的矩形的面積。意義就是 區間 a,b 上定義的被積函式y f x 的影象與ox軸以及x a和x b所圍成的曲邊梯形的面積等於直線y f x 0 ox軸以及x a和x b所圍成的矩形的面積。高等數學 二重積分中值定理 和 中... 1 f x 在 a,b 上連續，bai則存在最du大值m與最小值m，所以mg x zhif x g x mg x 所以 a到daob f x g x dx a到b g x dx m,m 由介值定理，專至少存在一點 屬m a,b 使得f m a到b f x g x dx a到b g x dx，即 a到...高等數學，涉及羅爾中值定理的證明題
積分中值定理的幾何意義,高等數學二重積分中值定理和中值到底有什麼關係？還有老師講幾何意義時畫了個圖，說交線上的點
高等數學中微分中值定理的題目兩道，求高手幫忙求解，謝謝啦