為什麼齊次線性方程組的基礎解系向量組為n r

1樓：介於石心

因為把係數矩陣對角化以後，相關行向量對應的未知數為自由變數，令自由變數為不相關的向量時得到基礎解，所以有幾個自由變數，就可以得到幾個基礎解，而自由變數個數就是未知數的維數減去係數矩陣的秩。

例lz提到的ax=0，因為化簡後為（1 2 0；0 2 3；0 0 0），即rank(a)=2，所以基礎解系中線性無關的向量個數就是3-2=1.也就是解空間的維數為1。

對齊次線性方程組的係數矩陣施行初等行變換化為階梯型矩陣後，不全為零的行數r（即矩陣的秩）小於等於m（矩陣的行數），若mr,則其對應的階梯型n-r個自由變元，這個n-r個自由變元可取任意取值，從而原方程組有非零解（無窮多個解）。

齊次線性方程組為aix+biy+ciz=0(i=1、2、3)組成的方程組，齊次線性方程組總有零解(x，y，z)=(0、0、0)，當係數行列式不等於零時，它只有零解，當係數行列式等於零時，有無窮多個非零解。

2樓：匿名使用者

注意基礎解系的秩和係數矩陣的秩是兩個概念，你的問題就是把這兩者搞混了。

兩者有一定關係：兩者的和是未知數的維數。

這裡就不給出嚴格證明了，如何理解，我簡單地說一下：回顧一下基礎解系是如何得來的？即把係數矩陣對角化以後，相關行向量對應的未知數為自由變數，令自由變數為不相關的向量時得到基礎解。

所以有幾個自由變數，就可以得到幾個基礎解。而自由變數個數就是未知數的維數減去係數矩陣的秩。

舉例：以lz提到的ax=0，因為化簡後為（1 2 0；0 2 3；0 0 0），即rank(a)=2，所以看第三行也就是x3不受影響，可以作為自由變數，給出一個賦值後得到了唯一的基礎解。所以基礎解系中線性無關的向量個數就是3-2=1.

也就是解空間的維數為1.

同樣對於n階的如果rank(a)=m,則解空間維數就是n-m

3樓：萊情弘修偉

這個為什麼很難說清楚，高代書上有的吧。因為n個變數減去r個秩

剩下的n減r就是基礎解析，

4樓：文仙靈兒

這題基礎解系的中所含線性無關的解向量個數是1啊滿足n-r啊

一般你把係數矩陣化為最簡梯矩陣後，如果主列是前r列的話，我們可以直接用構造矩陣法來得到基礎解系的解向量，構造的方法就是把主列與非主列隔開，零行與非零行隔開，得到右上交的一個列數為n-r的矩陣，構造時直接在它下方補一個n-r階單位陣即可，顯然，有n-r個解向量

主列不是前r列的話，我們也可以通過換列得到是在前r列

線代高手來，，為什麼網上都說非齊次線性方程組沒有基礎解系。。但是這n-r+1個無關的解向量又是什麼？

5樓：

雖然任意解都可以表示成這n-r+1個解向量的線性組合,但是這n-r+1個解向量的線性組合未必是方程組解,實際上只有k0+k1+...+kn-r = 1時才是方程的解.

在這個意義上這n-r+1個解向量與齊次線性方程組的基礎解系性質不同, 不能稱為基礎解系.

6樓：文森特丶丶

你只是舉出來了一個特例，而並不是每種情況都是所以非齊次方程沒有基礎解析

7樓：匿名使用者

一組向量線性無關，不等於都加上一個向量也線性無關。例如(1.1)(0.1)(2.5)第一個行向量加到後面兩個行向量，線性相關，不加則線性無關。你的第一點就錯了

齊次線性方程組ax=0的基礎解系所含有的線性無關的解向量的個數為n-r(a)是否要求a不可逆？若a

8樓：zzllrr小樂

若a可逆，此時r(a)=n

n-r(a)=0，此時所謂的基礎解系，確實就沒有解向量，並且方程組只有唯一解，即零解

9樓：你說我帥嗎嗯哼

因為a的秩為r，所以我們解出來的基礎解系中自由向量的個數為n-r，解向量的個數也為n-r。係數向量組的極大線性無關組考慮的是係數，而解的極大無關組考慮的是解向量，不是一回事