1樓：
將1/2t換成u後，u的範圍是(0，x)，所以，原式變為f(x)＝2∫(0→x)f(u)du，再兩邊求導，答案就是2f(x)。
2樓：匿名使用者
很簡單，有求變上限積分的求導公式
d/dx ∫(a→x) ƒ(t) dt = ƒ(x)
於是直接用公式就可以了
ƒ(x) = ∫(0→2x) ƒ(t/2) dt
ƒ'(x) = (2x)' • ƒ((2x)/2)
= 2ƒ(x)
通常，如果被積函式裡面沒有x的話，就可以直接用公式
如果有x的話，多數要用換元法，大致有兩種形式
第一種是被積函式裡和x有乘除關係，或無法抽出積分號外的，ƒ(xt)或ƒ(x/t)或ƒ(x² - t²)等
則d/dx ∫(0→x) ƒ(xt) dt，由於x在被積函式裡又無法抽出積分號外，需要換元u = xt，du = x dt
於是等於d/dx ∫(0→x²) ƒ(u) • 1/x du = d/dx (1/x)∫(0→x²) ƒ(u) du，再用導數乘法則可以了
另一種雖然被積函式和x可能有乘除關係，但可以抽出到積分號外，例如(x - t)ƒ(t)等
則d/dx ∫(0→x) (x - t)ƒ(t) dt
= d/dx [∫(0→x) xƒ(t) dt - ∫(0→x) tƒ(t) dt]
= d/dx [x∫(0→x) ƒ(t) dt] - d/dx [∫(0→x) tƒ(t) dt]
如果用你那種換元法的話可未嘗不可以
令u = t/2則du = 1/2 dt
t = 0，u = 0
t = 2x，u = 2x/2 = x
則d/dx ∫(0→2x) ƒ(t/2) dt
= d/dx ∫(0→x) ƒ(u) • 2 du
= 2 • d/dx ∫(0→x) ƒ(u) du
= 2ƒ(x)
3樓：匿名使用者
是f(1/2t)還是f(1/(2t))，若是f(1/2t),則答案是2f(x),
若是f[1/(2t)],則答案是2f[1/(4x)]
急求：已知f(x)在(-∞,+∞)內連續,且f(x)=∫(0→2x)f(1/2t)dt,則f '(x)，
4樓：匿名使用者
不是把1/2t看成u，而是把上線2x看成中間變數u
f '(x)等於被積函式f(1/2t)在上線2x處的函式值f(1/4x)，再乘以2x的導數2
答案是：2f(1/4x)
5樓：
將1/2t換成u後，u的範圍是(0，x)，所以，原式變為f(x)＝2∫(0→x)f(u)du，再兩邊求導，答案就是2f(x)。
設函式f（x）在（-∞，+∞）內連續，且f（x）=∫x0（x-2t）f（t）dt，試證：（1）若f（x）為偶函式，則f
6樓：手機使用者
證明：（
copy1）
因為f（-x）=f（x），則有：
f(?x)＝∫?x0
(?x?2t)f(t)dt，
令t=-u，於是：
f(?x)＝?∫x0
(?x+2u)f(?u)du＝∫x0
(x?2u)f(u)du=∫x0
(x?2t)f(t)dt=f（x），證畢．（2）f
′(x)＝[x∫x0
f(t)dt?2∫x0
tf(t)dt]=∫x
0f(t)dt+xf(x)?2xf(x)=∫x0f(t)dt?xf(x)
=x[f（ξ）-f（x）]，其中ξ介於0與x之間，由於f（x）單調不增，則：
①當x＞0時，f（ξ）-f（x）＞0，故f′（x）＞0；
②當x=0時，f（ξ）-f（x）=0，故f′（x）=0；
③當x＜0時，f（ξ）-f（x）＜0，故f′（x）＞0，即：當x∈（-∞，+∞）時，f′（x）≥0，所以：若f（x）單調不減，f（x）單調不增．
已知f(x)在x=0的某個鄰域內連續,且limx->0f(x)/1-cosx=2,則在x=0處f(x)？
7樓：小小芝麻大大夢
limx->0f(x)/(1-cosx)=2。
∵x->0分母1-cosx→0。
極限=2，f(0)→0。
洛必達法則：
lim(x->0)f(x)/(1-cosx)=lim(x->0)f'(0)/sin0，分母依舊為0，極限存在，f'(0)=0。
繼續求導：=lim(x->0)f''(0)/cos0=2。
∴f''(0)=2>0。
∴f(0)=0為極小值。
8樓：人生如戲
前面直接用洛必達的不對，因為題目沒有提到且沒辦法推出f(x)在x=0的某鄰域內可導，只是在某鄰域內連續而已。本題主要通過函式連續的定義、導數定義、函式極限的保號性、極值定義求解。注意判定極值的時候，不能用極值的三個充分條件判定，因為他們的前提都是在x0的某鄰域內可導。
9樓：星丶
由於1-cosx在x=0的左鄰域與右鄰域內都有limx→0 1-cosx>0 由保號性與連續性可知鄰域內的點有limx→0 f(x)=f(x)>0=f(0) 即f(0)是極小值點
由極小值的定義如下：一般地，設函式f（x）在x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f（x）＞f（x0），就說f（x0）是函式f（x）的一個極小值，記作y極小值=f（x0），x0是極小值點。
看了他們的答案好像都用到了導數，實際這題考察的是極值的原始定義
10樓：低言淺唱情詩
證明：由(x→0)limg(x)/x=-1 （極限為-1,分母趨於0,則分子必趨於0）
可知(x→0)limg(x)=0 即g(0)=0於是(x→0)lim[g(x)-g(0)]/(x-0)=-1則g(x)在該鄰域內可導且g'(0)=-1(x→0)limf(x)/g²(x)=2
因為(x→0)limg²(x)=0
則(x→0)limf(x)=0
f(0)=0
對(x→0)limf(x)/g²(x)=2進行變形(x→0)limf(x)/g²(x)
=(x→0)lim[f(x)/x][x²/g(x)]=(x→0)lim[f(x)/x²]•(x→0)limx²/g(x) （變成兩個極限之積,並對右邊的極限用洛必達法則）
=(x→0)lim[f(x)/x²]•(x→0)limx/g(x)•(x→0)lim1/g'(x)
=(x→0)lim[f(x)/x²]•(-1)•(-1)=2因此f(x)=2x²+o(x)
於是可以得到(x→0)limf(x)/x=0即f'(0)=0
11樓：匿名使用者
前面所bai
有用洛必達的也真是不du
怕誤人子弟啊。
zhi。這題考的是定義啊，偏偏dao正版
確答案放在了最下面。
連續卻未告權知可導，洛洛洛，泰勒都要哭了誒。下面答案中有用定義做的建議提到推薦答案，答案中1-cosx用了泰勒近似1/2x^2+o（x^2）
12樓：緊抱著大神腿
首先 有f(0) = 0; 等價來無窮小 1-cosx ~1/2x2
lim x->0 (f(x)-f(0))/(x-0) = lim x->0 x * f(x)/x2 = 0 所以f'(0) = 0;
lim x->0 ((f(x)-f(0))/(x-0) -f'(0))/(x-0) = f''(x) = lim x->0 f(x) /x2 =1>0;
顯然自因為bai f'(0) = 0; f''(0)>0。所以在x=0處有極小值du！
純手打，有bug的地
zhi方請提出，水平有限有dao誤地方請見諒 謝謝！
設函式f(x)在(-∞,+∞)上連續，且f(x)= ∫(0~x)(x-2t)f(t)dt，試證：(2)若f(x)單調不增，則f(x)單調不減
13樓：匿名使用者
注意到是對t積分的，而xf(x)是關於x的函式，相對於t來說，可以看作常數.
已知fx是二次函式且f01,fx1fx2x,求fx的值
設f x ax 2 bx c 因為f 0 1 所以c 1 f x 1 f x 2x 所以 a x 1 2 b x 1 c ax 2 bx c 2x 可以知道 版b 2 把x 0帶入 權 f 1 f 0 0 f 1 1 a b c 1 a 1 f x x 2 2x 1 令x 0 代入原函bai數得 f...
已知f（x）在R上是奇函式，且f（x 4）f（x），當x（0，2）時，f（x）2x 2，則f
因為f 襲x 4 f x 所bai以du4為函式zhif x 的一個週期，所以f 7 f 3 f 1 又f x 在r上是奇函式，所以f 1 f 1 2 dao12 2，即f 7 2 故答案為 2 解 f x 4 f x 那麼f du7 zhi f 3 f 1 又因為f x 在r上是奇dao函式 那麼...
已知fx具有二階連續導數，gx為連續函式，且fx
由f x lncosx x0 g x?t dt lncosx x0 g u du，f 0 0，進一步可得 f x sinx cosx g x 於是lim x 0f x x lim x 0 1 cosx sinx x g x x 1?2 3，f 0 0，f 0 lim x 0f x f 0 x 3 0...