1樓：匿名使用者
求證lim 0.9999……=1
首先，通項公式是xn=1-10^-n
根據定義
對任意ε>0，為使|xn-1|<ε
即 |1-10^n-1|=|-10^-n|=10^-n<ε
只需 n>-lnε
那麼有對任意的ε>0,都存在著n=max，使當n>n時，有|xn-1|<ε成立
所以 lim 0.9999……=1
ps：當lnε是正數的時候，表示正個數列都滿足|xn-1|<ε所以讓n為0跟lnε的取整函式的最大的一個最後感謝題主提醒錯誤，呵呵
2樓：匿名使用者
你的東西我沒看清楚。但是肯定是不一定的，看你放縮的過程
在用數列極限的定義證明某個數是極限是，為什麼要設ε小於1（圖中橙色畫住的部分）
3樓：匿名使用者
看不太清
不過大概意思我猜得出。其實ε設幾都行，很多時候是為了證明有那個n存在即可
為什麼證明數列極限時設ε＜1 ?
4樓：匿名使用者
設想當ε<1時, 我們證明了|xn-a|<ε, 那當ε>=1時不更應該成立嗎
ε的任意性體現在任意小
數列極限定義中，ε的取值
5樓：思念那條魚
這樣理解不全面。因為表達無限接近，不能用一個確定的數。要理解這個問題，關鍵是理解ε的實質。
（1）：ε具有任意性，因為既然表達任意接近，那麼ε可以任意取正值，惟其可以任意取值，才可準確表達極限定義中「無限接近」的含義。但為了突出「無限接近」通常取0<ε<1，這是因為，多說人對用0<ε<1表示無限接近，心理上比較容易認可，便於接受；再者，既然0<ε<1時成立，毫無疑問，ε>=1時也成立。
（2）ε具有確定性，一旦取定了某個ε的值，就把它暫時看做確定的，以便由它確定相應的⊿(應為小寫希臘字母德爾塔）。
至於你說的「如果ε取大於1的數，不能表達無限接近的意思」，這個問題本身就值得商榷，因為，證明函式的極限是某個常數時，不能把ε取定為某個具體的正數，不管它大於0小於1，還是大於等於1，只要取定一個具體數，就是不允許的，也是錯誤的。但如果是證明某個常數不是某個函式的極限，卻可以取定一個具體正數ε（比如，取ε=1/2，1/3,甚至ε=2，3……也未嘗不可）。
既然你沒有把它當成一個具體數，那麼根據你的需要，你可以作任何假設，因為它可以代表任意的正數。
高數中證明收斂數列極限時設ε<1的目的
6樓：匿名使用者
設ε<1是不必的,也不需要1/4(1/ε-2)大於零為ε設定上限一般只在ε過大會出現給負數開方等類似情況[ ]是取整,但即使理解為+1確實跳掉一項,卻並不影響證明學習這部分的時候重點是理解和學習這種思維方式,對細節的處理知道就行,不用深究
7樓：
括號內是ε∈r，不是因為收斂性， 也不是為了滿足n=[1/4(1/ε-2)]中1/4(1/ε-2)的值大於0，你可以取負值，顯然這時所以的n都滿足要求，但收斂的定義是儘可能小，也就是無論你取多小，這樣的臨界n總可以找到，使得之後的數列各項與收斂值的絕對值都小於ε
至於取得是取整還是取整+1，完全由自己決定，關鍵是要確定有沒有臨界的n值，顯然可以不一樣，如果得到的是n<...，顯然數列是發散的，即這個極限不是a
請問同濟六版高數第一章第二節的第一個例題證明中，為什麼要設ε<1呢
8樓：
首先，正數ε的重點是「任意小」，限制ε<1並不影響這一點。
其次，對於某些
數列xn的極限a來說，當ε≥1時，正整數n很可能取1就可以了，無須再去尋找。所以，只要對ε<1時進行討論即可（很多時候，一開始不知道要不要限制ε的大小，當你根據|xn-a|＜ε推出n＞n(ε)時，n(ε)要保證是正數可能需要條件了，比如n＞ln(1/ε)/ln2，ε＜1時才需要確定正整數n的取值，而ε≥1時，n取值1即可）。
9樓：高數解答帝
因為n是大於等於1的,1/n必定小於1所以要設ε<1
用定義證明極限其中算出一個數<ε，要算到什麼程度？這個是什麼意思？大一對證明極限完全不懂啊
10樓：仨x不等於四
極限定義用的是ε-n語言（數列的）或者ε-δ語言（函式的）。這個證明其實不難，對於所有的證明極限題，假如是數列的，就是任給ε>0，你去找一個n，使得n>n的時候an和極限a之間差別小於ε。ε是給定的，所以n一般來說是關於ε的一個式子，舉個例子，比如證明1/n趨近於0的時候任給ε>0，你現在就把|1/n-0|<ε的式子寫上，腦子裡想著，以這個式子為起點去找一個n，使得n>n時候這個式子成立。
這個式子可以化簡為n>1/ε，你就能看出來只要n>1/ε上面不等式就成立，但是n不能取1/ε，必須是整數，想想n如果取一個比1/ε大的數，那n>n上面不等式就更成立了，於是你就故意把n取得大一點，n=[1/ε]+1，去個整再加1，就比1/ε來得大了，這樣n>n時候能保證|1/n-0|<ε了。至於放縮還可以舉個例子，證明1/(n+n²)趨近於0。你寫上式子|1/(n+n²)-0|<ε，然後想要找一個n，那麼可以感到這個n只要從|1/(n+n²)-0|<ε出發得到就可以，而這個1/(n+n²)<1/n，如果|1/n-0|<ε了那麼1/(n+n²)就更小於ε了。
於是我從這個|1/n-0|<ε找出的n一定更滿足題目條件，還是取n=[1/ε]+1。這就是放縮法。
函式極限證明類似，給定ε>0，寫出不等式，從不等式出發去找δ（一般是一個含有ε的式子），滿足要求。
其他什麼分析等等都是一些技巧，具體可以看看書上例題。
至於對極限定義的理解可以看看這個回答。
11樓：匿名使用者
就是微積分語言的問題。微積分語言核心就是用靜態過程刻畫動態過程，極限你可以理解成x的一種「本領」，給一個「誤差」，然後只要x充分的發揮了這個「本領」，f(x)和極限之間的「誤差」就可以充分小。這個說了太抽象，我就說一下第一個當例子吧。
x趨近於+∞時f(x)極限是a，這個先給一個「誤差」，把它叫ε，這是一個要求，要求f(x)和a的距離要比這個小；因為x極限趨勢是趨近+∞的，所以x的「本領」是可以很大，怎麼樣表明x充分發揮「可以很大」這個本領以後「誤差」就可以充分小呢？我們就找一個衡量「本領」的標準n，這個n的特點是「充分大」，x要是比n都大就充分發揮了本領了，這時候誤差就可以比ε小了。具體說法是：
①對於任意ε>0（隨便給一個誤差要求），存在n>0（都能找到一個x本領的評判標準），使得當x>n時（x按照這個標準充分發揮本領）恆有|f(x)-a|<ε（f(x)和極限之間的值就可以符合誤差要求）。
類似地②對於任意ε>0，存在n>0，使得當x<-n時恆有|f(x)-a|<ε。
③（注意不是無窮了，這個x的本領就不是任意大了，而是和x0任意接近，找的衡量x本領的標準就是一個δ，只要x與x0距離小於δ就算x充分發揮了本領，能做到f(x)與a距離比ε小。告訴趨近於x0+還是x0-就是一個誰減誰的問題）
對於任意ε>0，存在δ>0，使得當x-x0<δ（x從右側趨近x0，故是x-x0）時恆有|f(x)-a|<ε。
④對於任意ε>0，存在δ>0，使得當x0-x<δ（x從左側趨近x0，故是x0-x）時恆有|f(x)-a|<ε。
這個自己好好思考思考理解了這種題就完全沒問題了。上面的這種理解方法不是我想的，是一個我們的物理老師說的，我只是潤色了一下語言。他的觀點我覺得很有啟發性，他說微積分語言實際上還是一種類似物理實驗的思想。
物理學家關心的是差距足夠小就可以，不是數學家的邏輯上嚴密；結果數學家真正需要定義「極限」這個數學概念的時候也頭疼，折騰了幾個世紀才給出現在的微積分語言。我們也可以感覺到分析學其實並不是很高深，它真正的思想核心還是緊密結合現實世界的。（最後這一段話太哲學了，如果樓主不感興趣就當我沒說了……我喜歡在回答問題時候瞎扯一些我的哲學理解）
利用數列極限的定義證明極限,關於用極限定義證明數列極限
求證 bailim n sinn n 0證明 對任意du zhi 0 sinn 1 要使 sinn n 0 成立，dao即只要回滿足 sinn n 0 sinn n 1 n 即只要 n 1 即可。故存答在 n 1 n 當 n n 時，恆有 sinn n 0 成立。lim n sinn n 0 由三角...
高數數列的極限！求大神！證明數列2,13n1n
用定義的反面就是對於任意的n 0,存在n n時存在 0有 xn a 不妨設n 10，n 1 n 1 n 2 1 1 n 1 n 1 1 n 1 n 1 1 n 9 10。根據定義就有xn的極限不是2.因為問題給了極限是1啊，用an 1趨於0來說明是基本得證明方法啊。如果沒給出極限，1 觀察出來，一減...
用數列極限的n定義證明limnsinn
有 證明 任取 0 由 sinn n 0 sinn n 1 n 1 n 解得n 1 於是取n 1 1 則當n n時，恆有 sinn n 0 成立由極根的定義得知 lim n sinn n 0 當n 6k,k為整數時，極限為0，當n 6k 3 2,k為整數時，極限為1，極限不相等，所以是發散數列 是不...