1樓：庸詘皇
實對稱矩陣正交相似於對角矩陣
即與對角矩陣合同
而對角矩陣的主對角線上的元素即a的特徵值
所以對稱矩陣a正定 a的特徵值都大於0
2樓：電燈劍客
用正交相似變換把這個實對稱矩陣對角化就行了
證明 實對稱矩陣是正定矩陣的充要條件是它的特徵值都是正數
3樓：匿名使用者
1.高等代數上有個定理：對於任意一個n級實對稱矩陣a都存在一個n級正交矩 陣t，使t'at成對角型，而對角線上的元素就是它的特徵根。由此，開證，
（1）充分性：當對稱矩陣a的特徵根都為正數時，對角型矩陣t'at對角線上的元素均為正數，所以t'at為正定矩陣，又t為正交陣，所以a是正定陣。
（2）必要性：由於對稱矩陣a是正定矩陣，所以存在一個正交矩陣t，使t'at成對角型的對角線上的元素均為正值，而對角線上的元素又為a的所有特徵值，即a的特徵值均為正數。
你好，希望能夠幫到你。
4樓：真富貴考釵
這個問題首先要知道什麼是正定陣,以及實對稱矩陣的性質.
第一正定陣定義:a正定,就是任意非零列向量x,x'ax>0[這裡注意x'ax按照矩陣乘法後是一個數,既不是矩陣也不是向量]
第二譜分解定理:實對稱矩陣a,存在正交矩陣p,使得
p'ap為對角形,對角線上是a的n個特徵值,即p'ap=diag.
我們先來證明充分性
a實對稱,則存在正交矩陣p'ap=diag,對角線上是n個特徵值.
當對角線上特徵值全是正數時:對任意的非零向量x,y=px(此時x和y一一對應).則y'ay=x'p'apx=x'diagx
此時x'diagx按照矩陣乘法,可見是正數.這就說明了這樣一個結論:任意非零向量y,令x=p逆y,則y'ay>0,滿足正定定義.
反之,當a正定時,任意的向量尤其列向量x=(1,0...0)',令y=px,那麼y'ay=x'p'apx=x'diagx=k1(對角陣的第一個元素,也就是a的第一個特徵...則存在正交矩陣p',則y',令y=px;ay>,2)位(3..
;0[這裡注意x',所以k1>:實對稱矩陣a;ap為對角形,就會有對角陣上(2..,以及實對稱矩陣的性質,對角線上是n個特徵值;,這個問題首先要知道什麼是正定陣;diagx
此時x',因此n個特徵值都大於0,令x=p逆y;0;ay>,1;apx=x',3)位直到(n,存在正交矩陣p,1)..
一下分別取x=(0;p',就是任意非零列向量x;0,當a正定時.
本題的關鍵是要會運用正定性的定義(非零向量x的任意性.
反之;p'.
第一正定陣定義,可見是正數,n)位的元素是正數.0)'.這就說明了這樣一個結論;ay=x'ap=diag;0:對任意的非零向量x;apx=x'.
我們先來證明充分性
a實對稱,y=px(此時x和y一一對應):任意非零向量y,對角線上是a的n個特徵值;ay=x',也就是a的第一個特徵值).則y'.
0)',x',,滿足正定定義,二次型是個數),;ap=diag;diagx按照矩陣乘法:a正定,0.按照正定定義y'..
,譜分解定理(p是由a唯一決定的;ax>.
當對角線上特徵值全是正數時,即p'.,那麼y',任意的向量尤其列向量x=(1;直到x=(0,0,既不是矩陣也不是向量]
第二譜分解定理;diagx=k1(對角陣的第一個元素,使得
p'ax按照矩陣乘法後是一個數
證明：若a是正定矩陣（a一定是對稱矩陣）的充要條件是所有特徵值大於0
5樓：匿名使用者
a一定正交相似於對角陣，而討論對角陣的正定性比較簡單。經濟數學團隊幫你解答，請及**價。謝謝！
設a是n階實對稱矩陣,證明a是正定矩陣的充分必要條件是a的特徵值都大於0
6樓：匿名使用者
證: a是n階實對稱矩陣, 則存在正交矩陣p, p'=p^-1滿足: p'ap = diag(a1,a2,...
,an). 其中a1,a2,...,an是a的全部特徵值
則a對應的二次型為:
f = x'ax
令 x=py 得
f = y'p' apy = y'diag(a1,a2,...,an)y = a1y1^2+...+any^n
所以 a正定 <=> f 正定 <=> ai>0.
即 a是正定矩陣的充分必要條件是a的特徵值都大於0.
滿意請採納^_^
7樓：點爺
不好意思啊，我才高中畢業。
a是n階實對稱矩陣,證明a是正定矩陣的充分必要條件是a的特徵值都大於0
8樓：皇怡時宵
^^證:
a是n階實對稱矩陣,
則存在正交矩陣p,
p'=p^-1
滿足:p'ap
=diag(a1,a2,...,an).
其中a1,a2,...,an是a的全部特徵值回則a對應的二次
答型為:f=
x'ax
令x=py得f
=y'p'
apy=
y'diag(a1,a2,...,an)y=a1y1^2+...+any^n
所以a正定
<=>f正定
<=>ai>0.
即a是正定矩陣的充分必要條件是a的特徵值都大於0.
滿意請採納^_^
實對稱矩陣為正定矩陣的充要條件為什麼是與單位矩陣合同
9樓：小雨手機使用者
充分性直接按正定的定義驗證，必要性可以用gauss消去法構造出cholesky分解a=ll^t。
1、實對稱矩陣a的不同特徵值對應的特徵向量是正交的。
2、實對稱矩陣a的特徵值都是實數，特徵向量都是實向量。
3、n階實對稱矩陣a必可相似對角化，且相似對角陣上的元素即為矩陣本身特徵值。
10樓：匿名使用者
實對稱陣a是正定陣
則a的特徵值都是正的
而實對稱陣是正交相似於對角陣diag(a1,..,an)即有正交陣p使得a=p'diag(a1,a2,..,an)p=p'diag(√a1,√a2,...
,√an)·diag(√a1,√a2,...,√an)p
記q=diag(√a1,√a2,...,√an)p，則a=q'q，即a與單位陣合同
反之若a與單位陣合同，即存在可逆陣s，使得設a=s's。則對任意非零向量x，有x'ax=x's'sx=(sx)'(sx)>0
∴a是正定的
證明實對稱矩陣A為正定矩陣的充要條件是存在可逆矩陣C使A C TC
若a是正定的，那麼抄存在k1,k2,kn 0與正交陣baiq，使得a qt diag k1,k2,kn q。其中duqt代表q的轉置。所以只要 zhi令c qtdiag 根號k1,根號k2,根號kn q,那麼就有 daoc是正交陣並且a c 2 若存在可逆實對稱矩陣c使得a c 2，則c可以用正交陣...
設ab為n階正定矩陣,設ab為n階正定矩陣？
正定矩陣bai的前提是對稱陣，而duab並不一定是zhi對稱陣，即ab ba不一dao 定成立，而a b b a恆成回立 矩陣a，b均為正答定矩陣,且ab ba,證明 ab為正定矩陣 證明 因為a,b正定,所以 a t a,b t b 必要性 因為ab正定,所以 ab t ab所以 ba b ta ...
合同矩陣為什麼有相同的正定性,請問合同矩陣為什麼有相同的正定性？相似矩陣的正定性又有什麼關係嗎？？
正定矩陣a的特徵值都是正的,可相似對角化成 diag a1,a2,an ai 0.即存在正交矩陣p,使 p ap diag a1,a2,an 取 c diag a1,a2,an 則有 c p apc c diag a1,a2,an c e 即 pc a pc e 所以a與單位矩陣合同.請問合同矩陣為...