設二元函式Z X2 Y2 Y2 X Y，X2 Y2小於等於

1樓：匿名使用者

假定題目是636f707962616964757a686964616f31333236613363

求二元函式

z(x,y) = x^2 + y^2 - x - y

在滿足約束

x^2 + y^2 <= 1

的條件下的最大值和最小值。

由於z(x,y)是連續可微函式，因此，它在閉集

x^2 + y^2 <= 1

內一定能達到最大值和最小值。

而最值點只會在駐點[偏導數為零的點]，和邊界點上取到。

先看駐點，

令z(x,y)關於x的偏導數為0，有

2x - 1 = 0

令z(x,y)關於y的偏導數為0, 有

2y - 1 = 0

得駐點（1/2，1/2），此時 z(1/2,1/2)= -1/2.

由於z(x,y) = [x-(1/2)]^2 + [y-(1/2)]^2 - (1/2) >= -1/2.

因此，二元函式z(x,y)在點（1/2，1/2）處達到最小值-1/2。

再來看邊界上的點。

邊界上的點都滿足

x^2 + y^2 = 1

因此，可令邊界上的點為

x = cos(u), y = sin(u), 0<= u < 2pi.

則函式z = f(u) =

1 - cos(u) - sin(u) = 1 - sqrt(2)cos[u - pi/4]

這樣，有

1 - sqrt(2) = f(pi/4) <= f(u)

<= 1 + sqrt(2) = f(5pi/4).

因此，在邊界 x^2 + y^2 = 1 上,

1 - sqrt(2) = z( sqrt(2)/2, sqrt(2)/2 ) <=

<= z(x,y) <= z( -sqrt(2)/2, -sqrt(2)/2 ) =

= 1 + sqrt(2).

比較1-sqrt(2),1+sqrt(2)和-1/2，我們有

二元函式

z(x,y) = x^2 + y^2 - x - y

在滿足約束

x^2 + y^2 <= 1

的條件下，在點（-sqrt(2)/2, -sqrt(2)/2 ）處達到最大值1+sqrt(2),在點（1/2，1/2）處達到最小值-1/2。

2樓：不知道抑或知道

題目是否抄錯了？y2-y2？

設二元函式z＝x2＋xy＋y2—x－y，x2＋y2≤1，求它的最大值和最小值.

3樓：匿名使用者

^2z=2x^2 2xy 2y^2-2x-2y=(x^2 2xy y^2) (x^2-2x) (y^2-2y) 2z 2=(x^2 2xy y^2) (x^2-2x 1) (y^2-2y 1)=(x y)^2 (x-1)^2 (y-1)^2 所以，2z 2≥0，所以，z≥-1；即，z的最小值是-1 因為x^2 y^2≤1，所以，當x=y=-(根號2)/2時，2z 2取得最大值，此時，z取得最大值，即當x=y=-(根號2)/2時，函式取得最大值，最大值為3/2 根號2 解畢不明再問再說一下最小值的問題 2z 2=(x^2 2xy y^2) (x^2-2x 1) (y^2-2y 1)=(x y)^2 (x-1)^2 (y-1)^2 因為，x^2 y^2≤1，所以x，y不能同時取1，所以最小值應該是當x=y=(根號2)/2時取得；將x=y=(根號2)/2代入原函式，得：1/2-根號2 最小值是1/2-根號2 這次ok了

設二元函式z=x＾2+xy+y＾2-x-y,x＾2+y＾2<=1,求它的最大值和最小值。

4樓：匿名使用者

當x=y=-√2/2時

x＾2+y＾2最大

xy最大

-x-y最大

所以最大值：3/2+√2

z=x＾2+（y-1）x+y＾2-y

當x=（1-y）/2時有最小值

又z=x＾2+y＾2-y-（1-y）x 且 y=<1最小值存在時x>0 y>0

（（1-y）/2）＾2+y＾2 在 y>0 y=<1時恆小於等於1即x可以=（1-y）/2

代入得z=(3y^2-2y-1)/4

時有最小值

又當y=1/3時有最小值即x=1/3

所以z=x＾2+xy+y＾2-x-y,最小值為-1/3求最小值的方法2：

極值點必滿足：

fx=2x+y-1=0

fy=2y+x-1=0

（fx表示對x的偏導）

解得y=1/3 x=1/3

代入即可

求函式z=xy2在圓域x2+y2小於等於1上的最大值和最小值

5樓：晴天雨絲絲

依題意可設

x=cosθ，y=sinθ.

z=xy²

=cosθsin²θ

=cosθ(1-cos²θ)，

∴z²=(1/2)·2cos²θ·(1-cos²θ)·(1-cos²θ)

≤(1/2)·[(2cos²θ+2-2cos²θ)/3]³=4/27.

∴-(2√3)/9≤z≤(2√3)/9.

所求最大值為z|max=(2√3)/9;

所求最小值為z|min=-(2√3)/9。

求二元函式z=x^2+y^2,x/a+y/b=1的條件極值 10

6樓：花開淺夏的時光

利用拉bai格朗日乘

數法求條件極du值，

令l（x，y，λ）

=x2+y2+1+λ（zhix+y-3）

得方程組dao

l′x＝

2x+λ＝內0l′y＝2y+λ＝0l′λ＝x+y−3＝0解之容得：x＝y＝32，

由題意知：當x＝y＝32時，z可能取到極值112．再來判斷：令f（x）=z（x，y（x））=x2+（x-3）2+1，f′（32）=0，且f″(32)＞0，

故函式z取得極小值為z（32，32）=112．

求二元函式z=x2+4y2+9在區域x2+y2≤4的最大值、最小值

7樓：情緣魅族

^先考慮駐點：az/ax=2x=0,az/ay=8y=0,駐點是（0,0）,z(0,0）=9.

再考慮邊界x^2+y^2=4.用lagrange乘子法.

令f=z+c(x^2+y^2--4),

af/ax=2x+2cx=0；

af/ay=8y+2cy=0；

1、c=-1時,第二個方程得y=0,代入邊界得x=2或-2,因此兩個點為

（2,0）和（-2,0）,此時z(2,0)=z(-2,0)=13.

2、c=-4時,代入第一個方程得x=0,於是y=2或-2z(0,2)=z(0,-2)=25；

綜上比較得z的最大值在（0,2）和（0,-2）達到,為25；

最小值在（0,0）達到,是9.

8樓：終極至尊粉

解由z=x2+4y2+9，得zx=2x，zy=8y，令zx=zy=0，得駐點（0，0），

在閉區域d上由駐點（0，0），計算z（0，0）=9在閉區域d的邊界x2+y2=4上，有

z=x2+4y2+9=x2+4（4-x2）+9=25-3x2，其中x∈[-2，2]

則在邊界上最大值為25，最小值13

故在閉區域d上最大值為25，最小值為9

設二元函式Z X2 Y2 Y2 X Y，X2 Y2小於等於

求二元函式zx2y2xy的極值點

設函式y f x 由方程y 3 xy 2 x 2y 6 0確定,求f x 的極值

證明limx,y0,0xyx2y2極限不

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