1樓:匿名使用者
假定題目是636f707962616964757a686964616f31333236613363
求二元函式
z(x,y) = x^2 + y^2 - x - y
在滿足約束
x^2 + y^2 <= 1
的條件下的最大值和最小值。
由於z(x,y)是連續可微函式,因此,它在閉集
x^2 + y^2 <= 1
內一定能達到最大值和最小值。
而最值點只會在駐點[偏導數為零的點],和邊界點上取到。
先看駐點,
令z(x,y)關於x的偏導數為0,有
2x - 1 = 0
令z(x,y)關於y的偏導數為0, 有
2y - 1 = 0
得駐點(1/2,1/2),此時 z(1/2,1/2)= -1/2.
由於z(x,y) = [x-(1/2)]^2 + [y-(1/2)]^2 - (1/2) >= -1/2.
因此,二元函式z(x,y)在點(1/2,1/2)處達到最小值-1/2。
再來看邊界上的點。
邊界上的點都滿足
x^2 + y^2 = 1
因此,可令邊界上的點為
x = cos(u), y = sin(u), 0<= u < 2pi.
則函式z = f(u) =
1 - cos(u) - sin(u) = 1 - sqrt(2)cos[u - pi/4]
這樣,有
1 - sqrt(2) = f(pi/4) <= f(u)
<= 1 + sqrt(2) = f(5pi/4).
因此,在邊界 x^2 + y^2 = 1 上,
1 - sqrt(2) = z( sqrt(2)/2, sqrt(2)/2 ) <=
<= z(x,y) <= z( -sqrt(2)/2, -sqrt(2)/2 ) =
= 1 + sqrt(2).
比較1-sqrt(2),1+sqrt(2)和-1/2,我們有
二元函式
z(x,y) = x^2 + y^2 - x - y
在滿足約束
x^2 + y^2 <= 1
的條件下,在點(-sqrt(2)/2, -sqrt(2)/2 )處達到最大值1+sqrt(2),在點(1/2,1/2)處達到最小值-1/2。
2樓:不知道抑或知道
題目是否抄錯了?y2-y2?
設二元函式z=x2+xy+y2—x-y,x2+y2≤1,求它的最大值和最小值.
3樓:匿名使用者
^2z=2x^2 2xy 2y^2-2x-2y=(x^2 2xy y^2) (x^2-2x) (y^2-2y) 2z 2=(x^2 2xy y^2) (x^2-2x 1) (y^2-2y 1)=(x y)^2 (x-1)^2 (y-1)^2 所以,2z 2≥0, 所以,z≥-1;即,z的最小值是-1 因為x^2 y^2≤1, 所以,當x=y=-(根號2)/2時,2z 2取得最大值,此時,z取得最大值, 即當x=y=-(根號2)/2時,函式取得最大值,最大值為3/2 根號2 解畢 不明再問 再說一下最小值的問題 2z 2=(x^2 2xy y^2) (x^2-2x 1) (y^2-2y 1)=(x y)^2 (x-1)^2 (y-1)^2 因為,x^2 y^2≤1,所以x,y不能同時取1,所以最小值應該是當x=y=(根號2)/2時取得; 將x=y=(根號2)/2代入原函式,得:1/2-根號2 最小值是1/2-根號2 這次ok了
設二元函式z=x^2+xy+y^2-x-y,x^2+y^2<=1,求它的最大值和最小值。
4樓:匿名使用者
當x=y=-√2/2時
x^2+y^2最大
xy最大
-x-y最大
所以最大值:3/2+√2
z=x^2+(y-1)x+y^2-y
當x=(1-y)/2時有最小值
又z=x^2+y^2-y-(1-y)x 且 y=<1最小值存在時x>0 y>0
((1-y)/2)^2+y^2 在 y>0 y=<1時恆小於等於1即x可以=(1-y)/2
代入得z=(3y^2-2y-1)/4
時有最小值
又當y=1/3時有最小值 即x=1/3
所以z=x^2+xy+y^2-x-y,最小值為-1/3求最小值的方法2:
極值點必滿足:
fx=2x+y-1=0
fy=2y+x-1=0
(fx表示對x的偏導)
解得y=1/3 x=1/3
代入即可
求函式z=xy2在圓域x2+y2小於等於1上的最大值和最小值
5樓:晴天雨絲絲
依題意可設
x=cosθ,y=sinθ.
z=xy²
=cosθsin²θ
=cosθ(1-cos²θ),
∴z²=(1/2)·2cos²θ·(1-cos²θ)·(1-cos²θ)
≤(1/2)·[(2cos²θ+2-2cos²θ)/3]³=4/27.
∴-(2√3)/9≤z≤(2√3)/9.
所求最大值為z|max=(2√3)/9;
所求最小值為z|min=-(2√3)/9。
求二元函式z=x^2+y^2,x/a+y/b=1的條件極值 10
6樓:花開淺夏的時光
利用拉bai格朗日乘
數法求條件極du值,
令l(x,y,λ)
=x2+y2+1+λ(zhix+y-3)
得方程組dao
l′x=
2x+λ=內0l′y=2y+λ=0l′λ=x+y−3=0解之容得:x=y=32,
由題意知:當x=y=32時,z可能取到極值112.再來判斷:令f(x)=z(x,y(x))=x2+(x-3)2+1,f′(32)=0,且f″(32)>0,
故函式z取得極小值為z(32,32)=112.
求二元函式z=x2+4y2+9在區域x2+y2≤4的最大值、最小值
7樓:情緣魅族
^先考慮駐點:az/ax=2x=0,az/ay=8y=0,駐點是(0,0),z(0,0)=9.
再考慮邊界x^2+y^2=4.用lagrange乘子法.
令f=z+c(x^2+y^2--4),
af/ax=2x+2cx=0;
af/ay=8y+2cy=0;
1、c=-1時,第二個方程得y=0,代入邊界得x=2或-2,因此兩個點為
(2,0)和(-2,0),此時z(2,0)=z(-2,0)=13.
2、c=-4時,代入第一個方程得x=0,於是y=2或-2z(0,2)=z(0,-2)=25;
綜上比較得z的最大值在(0,2)和(0,-2)達到,為25;
最小值在(0,0)達到,是9.
8樓:終極至尊粉
解 由z=x2+4y2+9,得zx=2x,zy=8y,令zx=zy=0,得駐點(0,0),
在閉區域d上由駐點(0,0),計算z(0,0)=9在閉區域d的邊界x2+y2=4上,有
z=x2+4y2+9=x2+4(4-x2)+9=25-3x2,其中x∈[-2,2]
則在邊界上最大值為25,最小值13
故在閉區域d上最大值為25,最小值為9
求二元函式zx2y2xy的極值點
z x2 y2 xy zx 2x y 0 zy 2y x 0 x 0 y 0 點 0,0 是維一的駐點 二元函式z x2 y2 xy的極值點是 0,0 y x 1 y x x 5 z 0,0 x 1 4 x x 5 z 4z 3x 6x 21 3 x 1 24 24,z 6 求二元函式z x 2 x...
設函式y f x 由方程y 3 xy 2 x 2y 6 0確定,求f x 的極值
兩邊對x求導 6y 2 y 4y y 2y 2xy 2x 0即y x y 3y 2 2y x 令y 0,得 x y 再將x y代入原方程,得 2x 3 2x 2 2x 2 x 2 1,得 2x 3 x 2 1 0 2x 3 2x 2 x 2 1 0 2x 2 x 1 x 1 x 1 0 x 1 2x...
證明limx,y0,0xyx2y2極限不
1 當 x,y 0,0 lim x 0,y 0 xy x 2 y 2 lim y 0 f 0,y 0 2 lim y x,x 0 xy x 2 y 2 lim x 0 f x,y lim x 0 x2 2x2 1 2 即 x,y 0,0 時limf x,y 的值不同。所以 如果該極限存在則復向趨近 ...