1樓：匿名使用者
^^換元法
令x=tany
則∫1/[(x^2+1)]^2dx=∫1/secy^4dtany=∫1/secy^2dy=∫cosy^2dy
==∫(cos2y+1)/2dy=y/2-sin2y/4+cy=arctanx
所以原式=arctanx/2-sin(2arctanx)/4+c
2樓：
令x＝tant，則dx＝(sect)^2dt，
∫1/[(x^2+1)]^2dx=∫(cost)^2dt＝1/2×∫(1+cos(2t))dt＝t/2＋1/2×sintcost＋c＝1/2×arctanx＋x/[2(1+x^2)]＋c
求不定積分∫(1+x^2)^1/2dx
3樓：demon陌
令x=tan(t), 則dx=(sect)^2dt帶入∫62616964757a686964616fe78988e69d8331333431343734(1+x^2)^(1/2)dx
=∫sectdtant
=secttant-∫tantdsect
=sect*tant-∫sect*tan²tdt=sect*tant-∫sect(sec²t-1)dt=secttant-∫sec³tdt+∫sectdt=secttant-∫sec³tdt+ln|sect+tant|2∫sec³tdt=secttant+ln|sect+tant|∫sec³tdt=(secttant+ln|sect+tant|)/2+c
反帶回得：
∫(1+x^2)^1/2dx
=(x√(1+x^2)+ln|x+√(1+x^2)|)/2+c連續函式，一定存在定積分和不定積分；若在有限區間[a，b]上只有有限個間斷點且函式有界，則定積分存在；若有跳躍、可去、無窮間斷點，則原函式一定不存在，即不定積分一定不存在。
4樓：不是苦瓜是什麼
令x=tanθ62616964757a686964616fe4b893e5b19e31333431353262，-π/2<θ<π/2
即dx=secθ^2*dθ
則∫(1／√1+x^2)dx
=∫(1／√(1+tanθ^2)*secθ^2*dθ
=∫(1/cosθ)dθ
=∫[cosθ/(cosθ）^2]dθ
=∫1/[1-(sinθ)^2]d（sinθ)
=1/2*ln[（1-sinθ）/（1+sinθ)]+c
=ln[x+√(1+x^2)]+c（c為常數）
求1/根號(1+x^2) 的原函式就是求函式1/根號(1+x^2) 對x的積分。
求1/根號(1+x^2) 的原函式，用」三角替換」消掉根號(1+x^2)。
不定積分的公式
1、∫ a dx = ax + c，a和c都是常數
2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + c，其中a為常數且 a ≠ -1
3、∫ 1/x dx = ln|x| + c
4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + c，其中a > 0 且 a ≠ 1
5、∫ e^x dx = e^x + c
6、∫ cosx dx = sinx + c
7、∫ sinx dx = - cosx + c
8、∫ cotx dx = ln|sinx| + c = - ln|cscx| + c
9、∫ tanx dx = - ln|cosx| + c = ln|secx| + c
10、∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + c
= (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + c
= - ln|secx - tanx| + c
= ln|secx + tanx| + c
5樓：匿名使用者
^^令x=tan(t), 則zhidx=(sect)^dao2dt,帶入∫內(1+x^2)^(1/2)dx
=∫sectdtant
=secttant-∫tantdsect
=sect*tant-∫sect*tan²tdt=sect*tant-∫sect(sec²t-1)dt=secttant-∫sec³tdt+∫sectdt=secttant-∫sec³tdt+ln|sect+tant|2∫sec³tdt=secttant+ln|sect+tant|∫sec³tdt=(secttant+ln|sect+tant|)/2+c
反帶回得：
∫(1+x^2)^1/2dx
=(x√
容(1+x^2)+ln|x+√(1+x^2)|)/2+c
6樓：匿名使用者
你好！可以拆成兩項如圖，都是簡單的積分。經濟數學團隊幫你解答，請及時採納。謝謝！
7樓：匿名使用者
上面的那幾位高手用的是三角替換，鄙人學藝不精，用的是雙曲替換
8樓：匿名使用者
這個問題我幫不上你，問問你的老師吧，老師會幫你解決問題。
9樓：十步殺異人
這個可以直接查《高等數學》課本後面的手冊啊！真不知道，可以設x=tg y 來求解。
10樓：帖子沒我怎會火
令x=tant,t∈(-π/2,π/2),則√(1+x²)=sect,dx=sec²tdt
∫√(1+x²) dx
=∫sec³t dt
=∫sect d(tant)
=sect*tant-∫tant d(sect)=sect*tant-∫tan²t*sectdt=sect*tant-∫(sec²t-1)*sectdt=sect*tant-∫sec³tdt+∫sectdt∴∫sec^3tdt=(1/2)(sect*tant+∫sectdt)
=(1/2)(sect*tant+ln|sect+tant|)+c
11樓：匿名使用者
∫(x+1/x)² dx
= ∫(x² + 2 + 1/x²) dx= ∫x²dx + ∫2dx + ∫1/x² dx= x ³ / 3 + 2x + (-1 / x) + c= x ³ / 3 + 2x - 1 / x + c
12樓：軏嚴戲
^^∫x^2/(1+x^2)^2 dx =-(1/2)∫xd(1/(1+x^2)) =-(1/2)[x/(1+x^2)] + (1/2)∫ dx/(1+x^2) =-(1/2)[x/(1+x^2)] + (1/2)arctanx + c
13樓：demon陌
^^^設 x=tant，dx=(sect)^2dtt=arctanx，1+x^2=(sect)^2，cost=1/√（1+x^2)
sint=x/√（1+x^2)
sin2t=2sintcost=2x/(1+x^2)原式=∫(tant)^2(sect)^2dt/*(sect)^4=∫(sint)^2*(cost)^2dt/(cost)^2=∫（sint)^2dt
=(1/2)∫（1-cos2t)dt
=t/2-(1/4)sin2t+c
=(1/2)arctanx-x/[2(1+x^2)]+c連續函式，一定存在定積分和不定積分；若在有限區間[a，b]上只有有限個間斷點且函式有界，則定積分存在；若有跳躍、可去、無窮間斷點，則原函式一定不存在，即不定積分一定不存在。
14樓：匿名使用者
= ∫ d(x^2) / 2 / (1+ x^2)^1/2
= (1+ x^2)^1/2 + c
-∫(x^2+2x+1)dx/(x^3+x^2+x+1)求這個不定積分的方法步驟過程，謝謝啦 20
15樓：匿名使用者
|分母因式分解為：(x+3)(x-1)
令：(2x+1)/[(x+3)(x-1)]=a/(x+3)+b/(x-1)
右邊通分合並,與左邊比較係數後得：a=5/4,b=3/4則：∫ (2x+1)/(x²+2x-3) dx=(5/4)∫ 1/(x+3) dx + (3/4)∫ 1/(x-1) dx
=(5/4)ln|x+3| + (3/4)ln|x-1| + c
求不定積分∫1/[1+e^x]^(1/2)dx求高手解題要步驟謝謝 20
16樓：所示無恆
^^d（e^x+1)^1/2=e^x/(2*（e^x+1)^1/2)
原式=∫(1/（e^x+1)^1/2)dx
=2*∫(1/（e^x+1)^1/2)*(e^x+1)^（1/2）/e^x)d（e^x+1)^1/2
=2∫1/e^xd（e^x+1)^1/2
令u=（e^x+1)^1/2
原式=2∫1/(u^2-1)du
=∫1/(u-1)-1/(u+1)du
=in|u-1|-in|u+1|+c
=in|(（e^x+1)^1/2-1）/(（e^x+1)^1/2+1)|+c
擴充套件資料：
不定積分方法
換元積分法可分為第一類換元法與第二類換元法。
一、第一類換元法（即湊微分法）
通過湊微分，最後依託於某個積分公式。進而求得原不定積分。
二、注：第二類換元法的變換式必須可逆，並且在相應區間上是單調的。
第二類換元法經常用於消去被積函式中的根式。當被積函式是次數很高的二項式的時候，為了避免繁瑣的式，有時也可以使用第二類換元法求解。常用的換元手段有兩種：
1、 根式代換法，
2、 三角代換法。
在實際應用中，代換法最常見的是鏈式法則，而往往用此代替前面所說的換元。
鏈式法則是一種最有效的微分方法，自然也是最有效的積分方法，下面介紹鏈式法則在積分中的應用：
鏈式法則：
我們在寫這個公式時，常常習慣用u來代替g，即：
如果換一種寫法，就是讓：
就可得：
這樣就可以直接將dx消掉，走了一個捷徑。
17樓：
第一類換元
法令t=[1+e^x]^(1/2),則x=ln(t²-1)，dx=2t/(t²-1)dt
原式=∫(1/t)*[2t/(t²-1)]dt=∫2/(t²-1)dt
=∫[1/(t-1) -1/(t+1)]dt=ln(t-1) -ln(t+1)+c
=...
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