1樓：
設f(x)＝x^5-4x^3+1，則b＝f(a)，若λ是a的特徵值，對應的特徵向量是a，則f(λ)是b的特徵值，a是對應的特徵向量。
1、因為a(a1)＝a1，所以b(a1)＝f(1)a1＝-2(a1)，所以a1＝(1,-1,1)' 是b對應於特徵值-2的特徵向量。
b的特徵值是f(1)＝-2，f(2)＝1，f(-2)＝1
因為實對稱矩陣對應於不同特徵值的特徵向量是正交的，所以b的屬於特徵值1的特徵向量是方程組x1-x2+x3＝0的解，取方程組的基礎解系a2＝(1,0,-1)'，a3＝(1,2,1)'（這裡有一個小技巧，就是適當選擇基礎解系，使得它們與a1構成正交向量組，方便接下來求矩陣b）
所以矩陣b的特徵值是-2,1,1，對應於-2的特徵向量是ka1＝k(1,-1,1)'，對應於特徵值1的特徵向量是k1(1,0,-1)'+k2(1,2,1)'，k、k1、k2是任意實數。
2、把a1,a2,a3單位化一下，得b1=(1,-1,1)'/√3，b2=(1,0,-1)'/√2，b3=(1,2,1)'/√6，設矩陣p＝(b1,b2,b3)，則p是正交矩陣，bp＝pc，其中c是對角矩陣diag(-2,1,1)。所以b＝pcp'＝
0 1 -1
1 0 1
-1 1 0
2樓：想去陝北流浪
kkdch，你好：
（1）由a1是原實對稱矩陣的屬入λ1的特徵向量知aa1=λ1a1,b=a^5-4a^3+e,故ba1=a^4*aa1-a^2*aa1+ea1=a^4*λ1a1-a^2*λ1a1+a1=----=λ1^4*aa1-λ1^2*aa1+a1=(λ1^5-λ1^3+1)a1,故a1確為矩陣的屬入特徵值為λ1^5-λ1^3+1的特徵向量，同理可證，a2,a3分別也為矩陣b屬入λ2^5-λ2^3+1，λ31^5-λ3^3+1的特徵向量。
（2）已經知道了矩陣b的全部特徵值和特徵向量，自然可以求出矩陣b，你會求，我就寫簡單點吧，方法如下：
以三個特徵值為對角元素構造對角矩陣c，以相應的三個特徵向量為列向量，構造矩陣p，則bc＝cp，所以b＝cpc^-1
希望我的回答對你有幫助，也預祝你學業精進！
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