1樓：
二次型f=x'ax通過正交變換化成標準型y'by（b是對角矩陣），則存在正交矩陣c，使得c'ac=b。此時對稱矩陣a與b合同。
因為c是正交矩陣，c'與c的逆矩陣是一樣的，所以a與b也還是相似的。相似矩陣有相同的特徵值，所以a的特徵值就是對角矩陣b的對角線元素。
所以只要n元二次型通過正交變換化成了標準型，那麼標準型裡面的那些平方項的係數就是二次型的矩陣的特徵值（如果平方項的個數小於n，剩餘特徵值皆為0）。
求出a的特徵值為1,4,0後，行列式|a|等於特徵值之積，a的對角線元素之和等於特徵值之和。這樣得到|a|=2b-b^2-1-=0，1+a+1=1+4+0，所以a=3，b=1。
2樓：匿名使用者
f(x,y,z)=x^2+ay^2+z^2+2bxy+2xz+2yz可以通過正交變換化為f=m^2+4n^2
則特徵值相同, 故為 1,4,0
a=1 b 1
b a 1
1 1 1
所以有 1+a+1 = 1+4+0, 得 a= 3.
再由 |a| = 0 = -(b-1)^2 得 b = 1.
3樓：笑書神俠客
f化為標準型後，標準型的係數就是特徵值嘛，所以特徵矩陣a的特徵值就是0 1 4
樓主對二次型化標準型理解不深刻。
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