1樓：吹雪_西門
其實可以不用柯西。
此題用到均值不等式:x+y+z>=3*[(xyz)的立方根]>=9*1/(1/x+1/y+1/z）
令a+b=x,b+c=y,a+c=z,則a+b+c=(x+y+z)/2,x>0,y>0,z>0.
求證不等式變成:2/x+2/y+2/z=18/(x+y+z)
即1/x+1/y+1/z=9/(x+y+z).
由x+y+z>=9*1/(1/x+1/y+1/z）
得1/x+1/y+1/z=9/(x+y+z),
故原不等式成立.
下面說說:x+y+z>=3*[(xyz)的立方根]>=9*1/(1/x+1/y+1/z）的證明。
所證式子的前半部分可由a^3+b^3+c^3>=3abc得到(將a,b,c分別換成三次根號a,b,c即可),以下用高中方法證明a^3+b^3+c^3>=3abc:
先證a^3+b^3>=ba^2+ab^2:
(a^3+b^3)-(ba^2+ab^2)=(a^3-ba^2)-(ab^2-b^3)
=(a-b)a^2-(a-b)b^2=(a^2-b^2)(a-b)=(a+b)(a-b)^2
因為a>0,b>0,易知上式大於等於零,故a^3+b^3>=ba^2+ab^2成立.
同理可得b^3+c^3>=bc^2+cb^2,a^3+c^3>=ca^2+ac^2,三式相加得
2(a^3+b^3+c^3)>=(ba^2+bc^2)+(ab^2+ac^2)+(cb^2+ca^2)
=b(a^2+c^2)+a(b^2+c^2)+c(a^2+b^2)
>=b*2ac+a*2bc+c*2ab=6abc
所以a^3+b^3+c^3>=3abc(當且僅當a=b=c時取等號)
後半部分證明則利用前半部分的結論:
易知yz+xz+xy>=3*[(xyz)^2的立方根],則
3*[(xyz)^2的立方根]/(yz+xz+xy)<=1,等式兩邊同乘以(xyz)的立方根,得
3xyz/(yz+xz+xy)<=(xyz)的立方根
不等式左邊上下同除以xyz,得
3*1/(1/x+1/y+1/z)<=(xyz)的立方根
即[(xyz)的立方根]>=3*1/(1/x+1/y+1/z）
所以後半部分得證.
附柯西方法：
：∵a 、b 、c 均為正數
∴為證結論正確只需證：2*(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＞9
而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)
又 9=(1+1+1)(1+1+1)
證明：θ2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＝[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9
又 a、b 、c 各不相等，故等號不能成立
∴原不等式成立。
2樓：
原式左邊=1/(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)](2a+2b+2c)
=1/(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)][(a+b)+(b+c)+(c+a)]
≥1/(a+b+c)[√(1/(a+b)*(a+b))+√(1/(b+c)*(b+c))+√(1/(c+a)*(c+a))]^2
=1/(a+b+c)(1+1+1)^2
=1/(a+b+c)
3樓：拂曉
設a、b、c 為正數且各不相等。
求證： 2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)＞9/(a+b+c)
分析：∵a 、b 、c 均為正數
∴為證結論正確只需證：2*(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＞9
而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)又 9=(1+1+1)(1+1+1)
證明：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＝[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9
又 a、b 、c 各不相等，故等號不能成立∴原不等式成立。
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