1樓：匿名使用者
dy/dx+p(x)y=q(x)的通解。
解：此方程在現在這個狀態，無法分離變數；分離不了變數，就無法求解。
最常用的方法，是先求一階齊次方程dy/dx+p(x)y=0的通解，然後把積分常數換成x的函式u(x)，
再將帶u的通解y和y'代入原式，即可求出函式u(x)；最後即可求得原方程的通解。這個過程已經程式化，很容易掌握。不存在「為什麼」的問題，只是一個方法。
由dy/dx+p(x)y=0，得dy/y=-p(x)dx，積分之得lny=-∫p(x)dx+lnc₁，故y=c₁e^[-∫p(x)dx]；
將c₁換成x的某個函式u，得y=ue^[-∫p(x)dx]...........(1)
對x取導數得dy/dx=(du/dx)e^[-∫p(x)dx]-ue^[-∫p(x)dx]p(x)..........(2)
將(1)和(2)代入原方程，得：
(du/dx)e^[-∫p(x)dx]-ue^[-∫p(x)dx]p(x)+ue^[-∫p(x)dx]p(x)=q(x)
化簡得(du/dx)e^[-∫p(x)dx]=q(x)
這就可以分離變數了：
du=dx
積分就看求出u(x)，再代入(1)式即得原方程的通解。
2樓：軟趴趴的懶
若y是dy/dx+p（x）y=q（x）的解，y0是dy/dx+p(x)y=q(x)的某一個解，那麼
d(y-y0)/dx+p(x)(y-y0)=dy/dx-dy0/dx+p(x)y-p(x)y0=-p(x)y+q(x)+p(x)y0-q(x)+p(x)y+p(x)y0=0。
即y*=y-y0是齊次方程的解。
所以dy/dx+p（x）y=q（x）的通解可以寫成y*+y0,y0是dy/dx+p（x）y=q（x）的特解，y*是齊次方程的通解。
求該一階線性微分方程的通解
3樓：豌豆凹凸秀
公式不是很清楚了麼
y'+p(x)y=q(x)
現在y'-2y=x+2，當然p(x)=-2，q(x)=x+2代入積分即可
實際上這裡計算不用那麼麻煩
y'-2y=x+2，那麼特解一定是y*=ax+b代入得到a -2(ax+b)=x+2，那麼(1+2a)x=a-2b-2
比較係數-2a=1，即a=-1/2
a-2b-2=0，得到b= -5/4，即特解是y*=-1/2 x -5/4
於是整個方程的通解為y=ce^2x -1/2 x -5/4
一階線性微分方程求通解？
4樓：西域牛仔王
(2x＋1)e^y * y'＋2e^y＝4(2x＋1)e^y * dy/dx＋2e^y＝4(2x＋1)e^y * dy＋2e^y * dx＝4dx，(2x＋1)d(e^y)＋e^y d(2x＋1)＝4dx，d[(2x＋1)e^y]＝d(4x)，
(2x＋1)e^y＝4x＋c。
一階線性微分方程的通解公式
5樓：竭縈家彤
1、樓主問的問題是涉及積分因子的問題，而求積分因子的目的是在尋求全微分；
2、也就是說，在微分方程的左側乘以一個積分因子，就使得左側變成全微分形式。
3、如果在積分中加入積分因子，結果只是等於在積分因子前，乘上了一個e^c的常
數，這個常數對全微分沒有絲毫貢獻，也沒有絲毫影響。所以，通常就省去了。
4、左側乘上積分因子後，右側同樣乘以積分因子，因為左側的導函式、原函式都
一次性地解決了，方程的右側變成了一個單純的積分問題，不再涉及導函式與原
函式的糾纏。
如有不明白之處，歡迎追問。
6樓：謇俊晤森燁
先化簡成標準式如下：
dy/dx+[-1/(x-2)]*y=2*(x-2)^2因此有：
p(x)=[-1/(x-2)]
q(x)=2*(x-2)^2
代入一階非齊次方程通解：
y=exp[-∫p(x)dx]*[∫exp(∫p(x)dx)q(x)dx+c]
=exp[-∫[-1/(x-2)]dx]*[∫exp[∫[-1/(x-2)]dx]*2(x-2)^2dx+c]
=exp[ln(x-2)][∫exp[-ln(x-2)]*2(x-2)^2dx+c]
=(x-2)[∫[1/(x-2)]*2(x-2)^2dx+c]=(x-2)[2∫(x-2)dx+c]
=(x-2)[(x-2)^2+c]
=(x-2)^3+c(x-2)
我想這個已經夠詳細了吧
一階線性微分方程？
7樓：豌豆凹凸秀
可以從n階線性微分方程的形式來看:
y^(n)+a1(x)×y^(n-1)+a2(x)×y^(n-2)+……+an(x)×y=f(x)
應該滿足條件:
n階導數的係數為常數，其線性滿足，若n階導數的係數不為常數，可做變換將其變為常數，且在將方程的n階導數變換為常數後，方程中只能含有y的一次方(也可能沒有)，但不能含有y的其他次方。
例如提問中yy'-2xy=3，最終可化成y'-2x=3/y，最高階是一階，但是存在1/y，故不是一階線性微分方程
第二個式子含有cosy更不可能是
第三個變換後也可看得不是
再理解一階線性微分方程的定義:
y'+p(x)y=q(x)
線性其實是滿足在變換後只存在y的一次方。
8樓：
兩邊同時進行指數運算得到的
一階線性微分方程的通解公式
9樓：匿名使用者
解：∵抄(x-2)*dy/dx=y+2*(x-2)³==>(x-2)dy=[y+2*(x-2)³]dx==>(x-2)dy-ydx=2*(x-2)³dx==>[(x-2)dy-ydx]/(x-2)²=2*(x-2)dx==>d[y/(x-2)]=d[(x-2)²]==>y/(x-2)=(x-2)²+c (c是積分常數)==>y=(x-2)³+c(x-2)
∴原方程的通解是y=(x-2)³+c(x-2) (c是積分常數)。
10樓：匿名使用者
先化簡成襲標準式如下：
dy/dx+[-1/(x-2)]*y=2*(x-2)^2因此有：
p(x)=[-1/(x-2)]
q(x)=2*(x-2)^2
代入一階非齊次方程通解：
y=exp[-∫
p(x)dx]*[∫exp(∫p(x)dx)q(x)dx+c]=exp[-∫[-1/(x-2)]dx]*[∫exp[∫[-1/(x-2)]dx]*2(x-2)^2dx+c]
=exp[ln(x-2)][∫exp[-ln(x-2)]*2(x-2)^2dx+c]
=(x-2)[∫[1/(x-2)]*2(x-2)^2dx+c]=(x-2)[2∫(x-2)dx+c]
=(x-2)[(x-2)^2+c]
=(x-2)^3+c(x-2)
我想這個已經夠詳細了吧
11樓：匿名使用者
[高數]變限積分求導易錯點
12樓：匿名使用者
這是一階線性非齊次微分方程，有三種方法：最簡單的是公式法，先化成y'-[1/(x-2)]y=2(x-2)^2,通解y=e^(-∫-1/(x-2)dx)*(c+∫2(x-2)^2*(e^∫版-1/(x-2)dx)dx)，常權數變易法什麼的還是看書吧，我這手機打著太費勁，亂糟糟的你也累，常數變易法就是先作對應的齊次方程的通解，再把任意常數c換成函式c(x)，積分因子法就是方程兩邊都乘以同一因子，是方程變成如uy'+u'y的形式，從而化成[uy]'去掉y'項便於積分，把書上這一章最前面最基本的吃透了比什麼都好使！相信我。
一階微分方程的通解
13樓：匿名使用者
1、對於一階
齊次線性微分方程：
其通解形式為：
其中c為常數，由函式的初始條件決定。
2、對於一階非齊次線性微分方程：
其對應齊次方程:
解為：令c=u(x)，得:
帶入原方程得：
對u』(x)積分得u(x)並帶入得其通解形式為：
擴充套件資料主要思想：
數學上，分離變數法是一種解析常微分方程或偏微分方程的方法。使用這方法，可以借代數來將方程式重新編排，讓方程式的一部分只含有一個變數，而剩餘部分則跟此變數無關。這樣，隔離出的兩個部分的值，都分別等於常數，而兩個部分的值的代數和等於零。
利用高數知識、級數求解知識，以及其他巧妙的方法，求出各個方程的通解。最後將這些通解「組裝起來」。分離變數法是求解波動方程初邊值問題的一種常用方法。
14樓：人設不能崩無限
舉例說明：(x-2)*dy/dx=y 2*(x-2)^3解：∵(x-2)*dy/dx=y 2*(x-2)³(x-2)dy=[y 2*(x-2)³]dx(x-2)dy-ydx=2*(x-2)³dx[(x-2)dy-ydx]/(x-2)²=2*(x-2)dxd[y/(x-2)]=d[(x-2)²]
y/(x-2)=(x-2)² c (c是積分常數)y=(x-2)³ c(x-2)
∴原方程的通解是y=(x-2)³ c(x-2)(c是積分常數)。
15樓：介於石心
解：∵(x-2)*dy/dx=y 2*(x-2)³
(x-2)dy=[y 2*(x-2)³]dx
(x-2)dy-ydx=2*(x-2)³dx
[(x-2)dy-ydx]/(x-2)²=2*(x-2)dx
d[y/(x-2)]=d[(x-2)²]
y/(x-2)=(x-2)² c (c是積分常數)
y=(x-2)³ c(x-2)
∴原方程的通解是y=(x-2)³ c(x-2)(c是積分常數)。
一階微分方程的求法：
1、從方程組中消去一些未知函式及其各階導數，得到只含有一個未知函式的高階常係數線性微分方程。
2、解此高階微分方程，求出滿足該方程的未知函式。
3、把已求得的函式代入原方程組，一般來說。不必經過積分就可求出其餘的未知函式。
其中一階微分方程的表示式為y'+p(x)y=q(x)；二階常係數非齊次線性微分方程的表示式為y''+py'+qy=f(x)。研究非齊次線性微分方程其實就是研究其解的問題，它的通解是由其對應的齊次方程的通解加上其一個特解組成。
16樓：匿名使用者
用分離係數法
y'+2xy=x
dy/dx+2xy=x
dy/dx=-x(2y-1)
dy/(2y-1)=-xdx
兩邊積分
1/2ln(2y-1)=-1/2x^2+c1ln(2y-1)=-x^2+c2 其中c2=2c12y-1=e^(-x^2+c2)
y=1/2e^(-x^2+c2)+1/2
y=e^(-x^2+c3)+1/2 其中c3=c2-ln2你用不同方法得到的結果可能都對，因為其中的常熟c對結果是有影響的，我在上面已經說明了
17樓：匿名使用者
看你是對x還是對y微分，如果是對x，則把x去掉即可：y'+2xy=x的微分可以變為：y''+2y=1，如果是對y，則y''+2x=0(此時x是常數，故求導後為零)
建議你參考下《同濟高等數學第六版上冊》
求教一階線性微分方程
y 2y x 1 x 1 3 0y 2y x 1 x 1 3 先求對應的齊次方程y 2y x 1 0的解，變數分離法。dy y 2dx x 1 ln y 2ln x 1 c1 y c x 1 2 其中c 正負e c1 然後將常數c設為關於x的函式c x y c x x 1 2即為原非齊次方程的解，帶...
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let u x 3 1 y du dx x 3 1 dy dx 3x 2.y y 3x 2.y x 3 1 y 2.x 3 1 sinx x 3 1 y 3x 2.y y 2.x 3 1 2.sinx du dx u 2 sinx du u 2 sinx dx 1 u cosx c 1 x 3 1 ...