1樓：匿名使用者
列向量組的秩也是 1 !!!
2,3 可由 1 線性表示
2樓：匿名使用者
呃，你確定它的列向量秩是3麼？
請問老師，為什麼「矩陣的秩等於它的列向量組的秩，也等於它的行向量組的秩」？
3樓：星月精靈
首先，因為矩陣的秩就是定義為行向量組的秩（也可以定義成列向量組的秩）。
其次，矩陣的秩定義為它的行向量的秩。因為有結論：轉置矩陣與原矩陣有相同的秩。所以行向量組的秩與列向量的秩相等。
例如，一個三行四列的滿秩矩陣，它的秩為3，如果你將其化為一個4行3列的矩陣，它的秩也為3。
擴充套件資料：
一：矩陣乘法
矩陣相乘最重要的方法是一般矩陣乘積。它只有在第一個矩陣的列數（column）和第二個矩陣的行數（row）相同時才有意義 。一般單指矩陣乘積時，指的便是一般矩陣乘積。
一個m×n的矩陣就是m×n個數排成m行n列的一個數陣。
由於它把許多資料緊湊的集中到了一起，所以有時候可以簡便地表示一些複雜的模型。
二：矩陣乘法注意事項
1、當矩陣a的列數等於矩陣b的行數時，a與b可以相乘。
2、矩陣c的行數等於矩陣a的行數，c的列數等於b的列數。
3、乘積c的第m行第n列的元素等於矩陣a的第m行的元素與矩陣b的第n列對應元素乘積之和。
三：基本性質
1.乘法結合律： (ab)c=a(bc)
2.乘法左分配律：(a+b)c=ac+bc
3.乘法右分配律：c(a+b)=ca+cb
4.對數乘的結合性k(ab）=(ka)b=a(kb）
5.轉置 (ab)t=btat
6.矩陣乘法一般不滿足交換律 。
7.注：可交換的矩陣是方陣。
4樓：∮一叢萱草
都是大姨媽的回答，看你大表叔我的~
首先為了幫助你明白，你先要弄清楚2個定義：
矩陣的秩的定義：存在k階子式不為0，對任意k+1階子式均為0，則k即為矩陣的秩。
向量組的秩的定義：向量組的極大線性無關組所包含向量的個數，稱為向量組的秩。
其次再弄清楚3個定理：
1，矩陣a的行列式不為0的充要條件是a的行(列)向量線性無關
2，無關組加分量仍無關
3， r個n維列向量組線性無關的充要條件是這r個n維列向量組所構成的矩陣至少存在一個r階子式不為0
好了，簡略證明過程開始,我先證「矩陣的秩等於列向量組的秩」。假設n階矩陣的秩為r，其列向量組的秩為s。（我們的目標：就是證明r=s）
一方面，矩陣的秩為r，即為其有k階子式不為0(矩陣秩的定義)，則該k階子式的列向量線性無關(定理1)，則其k階子式所在矩陣的列向量必線性無關(定理2)，則由向量組的秩的定義可知r≤s。
另一方面，列向量組的秩為s，由定理3知，必有一個s階子式不為0，故由矩陣的秩的定義可知s≤r。
聯立即得，r=s！
同理可證，矩陣的秩等於行向量組的秩！
完全原創，碼字辛苦，樓主不明白可追問，明白請採納！
5樓：匿名使用者
因為矩陣的初等變換不改變矩陣的秩！！！
所有的矩陣初等變換的結果，都是如下形狀：
對角線上一些1，0。其他元素全0。
這個時候你能看出來行秩和列秩都是1的個數。
6樓：老蝦米
矩陣的秩定義為它的行向量的秩。因為有結論：轉置矩陣與原矩陣有相同的秩。所以行向量組的秩與列向量的秩相等。
你看看書中 「轉置矩陣與原矩陣有相同的秩」的證明就可以了。
矩陣的秩和矩陣的行向量的秩以及矩陣的列向量的秩有什麼聯絡？
7樓：朝陽
當矩陣進行初等行變換後，化為階梯型矩陣。此時矩陣的行向量的秩等於矩陣的列向量的秩。當您學到正定矩陣時，前面的內容就非常簡單了。
希望您能得到幫助
一個矩陣的行向量組可由另一個矩陣的行向量組線性表出，它們的秩的關係？
8樓：匿名使用者
這個矩陣的秩小於或等於另外那個矩陣的秩。
關於向量組的行向量的秩和列向量的秩。書上說行向量的秩應該等於列向
9樓：匿名使用者
行秩和列秩都是1
只有1行，所以行秩是1就不用說了。
列秩來說，這個矩陣任何兩個列向量之間，都是線性相關的。
例如1和2之間，可以得到式子1*(-2)+2*1=0，所以線性相關2和3之間，可以得到式子2*（-3）+3*2=0，所以線性相關。
所以列向量中，最大無關組向量數量是1，多於1個向量，就會線性相關。
所以列秩也是1。
列向量組與行向量組的秩的區別？
10樓：匿名使用者
如一個m*n（m陣的秩等於列向量組的秩也等於行向量組的秩的證明
1．定義
矩陣的秩：指非零子式的最高階數
向量組的秩：指最大無關組中向量的個數
2．證明
先證明矩陣的秩等於列向量組的秩
設矩陣a=[a_11,…,a_1n;…; a_m1,…,a_mn],rank(a)=r
則有某個r階子式不等於，無妨設det(a_11,…,a_1r;…;a_r1,…,a_rr)≠0
下證a1,a2,…,ar( aj=(a_1j,…,a_mj)』,j=1,…,r)線性無關
若a1*x1+…,+ar*xr=0 （1）
或[a_11*x1+…,+a_1r*xr=0
……a_r1*x1+…,+a_rr*xr=0
a_r+1,1*x1+…,+a_r+1,r*xr=0
……]則由det(a_11,…,a_1r;…;a_r1,…,a_rr)≠0知前r個方程組成的方程組只有零解，從而整個方程組只有零解，即（1）只有零解，因此a1,a2,…,ar線性無關
下證a中任意r+1個列向量線性相關，
採用反證法，假設存在某r+1個列向量線性無關，無妨設a1,a2,…,ar,a_r+1線性無關,則a1*x1+…,+ar*xr+a_r+1*x_r+1=0只有零解,令a1=[a1,…,ar,a_r+1]，則rank(a1)=r+1，從而a1有一個r+1階子式不等於零，而此子式也是a中的一個子式，這就說明a中存在不為零的r+1階子式，這與rank(a)=r矛盾。故假設錯誤，從而a中任意r+1個列向量線性相關，故a1,a2,…,ar為a的一個最大無關組，從而列向量組的秩序為r.這就證明了矩陣的秩等於列向量組的秩
現說明矩陣的秩也等於行向量組的秩
因rank(a』)=rank(a)，rank(a』)=a』中列向量組的秩，而a』的列向量組即為a的行向量組，故有a行向量組的秩=rank(a)
11樓：蠻燦真祺
如一個m*n（m，其秩就是m
矩陣的秩等於列向量組的秩也等於行向量組的秩的證明
1．定義
矩陣的秩：指非零子式的最高階數
向量組的秩：指最大無關組中向量的個數
2．證明
先證明矩陣的秩等於列向量組的秩
設矩陣a=[a_11,…,a_1n;…;
a_m1,…,a_mn],rank(a)=r
則有某個r階子式不等於，無妨設det(a_11,…,a_1r;…;a_r1,…,a_rr)≠0
下證a1,a2,…,ar(
aj=(a_1j,…,a_mj)』,j=1,…,r)線性無關
若a1*x1+…,+ar*xr=0
（1）或
[a_11*x1+…,+a_1r*xr=0
……a_r1*x1+…,+a_rr*xr=0
a_r+1,1*x1+…,+a_r+1,r*xr=0
……]則由det(a_11,…,a_1r;…;a_r1,…,a_rr)≠0知前r個方程組成的方程組只有零解，從而整個方程組只有零解，即（1）只有零解，因此a1,a2,…,ar線性無關
下證a中任意r+1個列向量線性相關，
採用反證法，假設存在某r+1個列向量線性無關，無妨設a1,a2,…,ar,a_r+1線性無關,則a1*x1+…,+ar*xr+a_r+1*x_r+1=0只有零解,令a1=[a1,…,ar,a_r+1]，則rank(a1)=r+1，從而a1有一個r+1階子式不等於零，而此子式也是a中的一個子式，這就說明a中存在不為零的r+1階子式，這與rank(a)=r矛盾。故假設錯誤，從而a中任意r+1個列向量線性相關，故a1,a2,…,ar為a的一個最大無關組，從而列向量組的秩序為r.這就證明了矩陣的秩等於列向量組的秩
現說明矩陣的秩也等於行向量組的秩
因rank(a』)=rank(a)，rank(a』)=a』中列向量組的秩，而a』的列向量組即為a的行向量組，故有a行向量組的秩=rank(a)
如何證明一個矩陣的行秩等於它的列秩
12樓：匿名使用者
令a是一個m×bain的矩陣，其列秩du
為r. 令a的列的一組基為c1,c2,...cr，並記矩zhi陣c=(c1,c2,...
cr). 顯然a的每個dao列向量是c1,c2....cr這回r個列向量的線性答組合.
設a的第i列ai=bi1c1+bi2c2+....+bircr ,令b=(bij) 這是一個r×n矩陣 有a=cb 再觀察a的行向量，有a=cb知a 的每個行向量都是b的行向量的線性組合，因此a的行秩 ≤r 的行秩. 但r僅有r行, 所以a的行秩 ≤r =a 的列秩.
這就證明了a的行秩 ≤a 的列秩類似可知a的列秩=a的轉置的行秩 ≤a的轉置 的列秩=a的行秩所以a的行秩=a 的列秩
為什麼矩陣的秩等於行秩也等於列秩
13樓：河傳楊穎
因為每個矩陣都可以通過初等變換，得到唯一的標準型與之對應，而標準型中的非零行數就是秩。不管通過初等行變換來求行秩，還是初等列變換求列秩，最終都可以化成這個唯一的標準型，且行秩（或列秩），就等於秩。
矩陣的行秩與列秩相等，是線性代數基本定理的重要組成部分. 其基本證明思路是，矩陣可以看作線性對映的變換矩陣，列秩為像空間的維度，行秩為非零原像空間的維度，因此列秩與行秩相等，即像空間的維度與非零原像空間的維度相等（這裡的非零原像空間是指約去了零空間後的商空間：原像空間）。
這從矩陣的奇異值分解就可以看出來。
列秩應用
計算矩陣的秩的一個有用應用是計算線性方程組解的數目。如果係數矩陣的秩等於增廣矩陣的秩，則方程組只要有一個解。在這種情況下，它有精確的一個解，如果它的秩等於方程的數目。
如果增廣矩陣的秩大於係數矩陣的秩，則通解有k個自由參量，這裡的k是在方程的數目和秩的差。否則方程組是不一致的。
在控制論中，矩陣的秩可以用來確定線性系統是否為可控制的，或可觀察的。
14樓：匿名使用者
這個矩陣的秩為2.列秩也為2
-21/5 x 2+24/5 x3 =6
-21/5 x 7+24/5 x8 =9
矩陣的秩的定義：存在k階子式不為0，對任意k+1階子式均為0，則k即為矩陣的秩。
向量組的秩的定義：向量組的極大線性無關組所包含向量的個數，稱為向量組的秩。
其次再弄清楚3個定理：
1，矩陣a的行列式不為0的充要條件是a的行(列)向量線性無關
2，無關組加分量仍無關
3， r個n維列向量組線性無關的充要條件是這r個n維列向量組所構成的矩陣至少存在一個r階子式不為0
好了，簡略證明過程開始,我先證「矩陣的秩等於列向量組的秩」。假設n階矩陣的秩為r，其列向量組的秩為s。（我們的目標：就是證明r=s）
一方面，矩陣的秩為r，即為其有k階子式不為0(矩陣秩的定義)，則該k階子式的列向量線性無關(定理1)，則其k階子式所在矩陣的列向量必線性無關(定理2)，則由向量組的秩的定義可知r≤s。
另一方面，列向量組的秩為s，由定理3知，必有一個s階子式不為0，故由矩陣的秩的定義可知s≤r。
聯立即得，r=s！
同理可證，矩陣的秩等於行向量組的秩！
@∮一叢萱草∮
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