1樓：東風冷雪
矩陣的秩為最高階子式
(最高階子式為m*m的方陣)
列向量組與行向量組的秩的區別？
2樓：匿名使用者
如一個m*n（m陣的秩等於列向量組的秩也等於行向量組的秩的證明
1．定義
矩陣的秩：指非零子式的最高階數
向量組的秩：指最大無關組中向量的個數
2．證明
先證明矩陣的秩等於列向量組的秩
設矩陣a=[a_11,…,a_1n;…; a_m1,…,a_mn],rank(a)=r
則有某個r階子式不等於，無妨設det(a_11,…,a_1r;…;a_r1,…,a_rr)≠0
下證a1,a2,…,ar( aj=(a_1j,…,a_mj)』,j=1,…,r)線性無關
若a1*x1+…,+ar*xr=0 （1）
或[a_11*x1+…,+a_1r*xr=0
……a_r1*x1+…,+a_rr*xr=0
a_r+1,1*x1+…,+a_r+1,r*xr=0
……]則由det(a_11,…,a_1r;…;a_r1,…,a_rr)≠0知前r個方程組成的方程組只有零解，從而整個方程組只有零解，即（1）只有零解，因此a1,a2,…,ar線性無關
下證a中任意r+1個列向量線性相關，
採用反證法，假設存在某r+1個列向量線性無關，無妨設a1,a2,…,ar,a_r+1線性無關,則a1*x1+…,+ar*xr+a_r+1*x_r+1=0只有零解,令a1=[a1,…,ar,a_r+1]，則rank(a1)=r+1，從而a1有一個r+1階子式不等於零，而此子式也是a中的一個子式，這就說明a中存在不為零的r+1階子式，這與rank(a)=r矛盾。故假設錯誤，從而a中任意r+1個列向量線性相關，故a1,a2,…,ar為a的一個最大無關組，從而列向量組的秩序為r.這就證明了矩陣的秩等於列向量組的秩
現說明矩陣的秩也等於行向量組的秩
因rank(a』)=rank(a)，rank(a』)=a』中列向量組的秩，而a』的列向量組即為a的行向量組，故有a行向量組的秩=rank(a)
3樓：蠻燦真祺
如一個m*n（m，其秩就是m
矩陣的秩等於列向量組的秩也等於行向量組的秩的證明
1．定義
矩陣的秩：指非零子式的最高階數
向量組的秩：指最大無關組中向量的個數
2．證明
先證明矩陣的秩等於列向量組的秩
設矩陣a=[a_11,…,a_1n;…;
a_m1,…,a_mn],rank(a)=r
則有某個r階子式不等於，無妨設det(a_11,…,a_1r;…;a_r1,…,a_rr)≠0
下證a1,a2,…,ar(
aj=(a_1j,…,a_mj)』,j=1,…,r)線性無關
若a1*x1+…,+ar*xr=0
（1）或
[a_11*x1+…,+a_1r*xr=0
……a_r1*x1+…,+a_rr*xr=0
a_r+1,1*x1+…,+a_r+1,r*xr=0
……]則由det(a_11,…,a_1r;…;a_r1,…,a_rr)≠0知前r個方程組成的方程組只有零解，從而整個方程組只有零解，即（1）只有零解，因此a1,a2,…,ar線性無關
下證a中任意r+1個列向量線性相關，
採用反證法，假設存在某r+1個列向量線性無關，無妨設a1,a2,…,ar,a_r+1線性無關,則a1*x1+…,+ar*xr+a_r+1*x_r+1=0只有零解,令a1=[a1,…,ar,a_r+1]，則rank(a1)=r+1，從而a1有一個r+1階子式不等於零，而此子式也是a中的一個子式，這就說明a中存在不為零的r+1階子式，這與rank(a)=r矛盾。故假設錯誤，從而a中任意r+1個列向量線性相關，故a1,a2,…,ar為a的一個最大無關組，從而列向量組的秩序為r.這就證明了矩陣的秩等於列向量組的秩
現說明矩陣的秩也等於行向量組的秩
因rank(a』)=rank(a)，rank(a』)=a』中列向量組的秩，而a』的列向量組即為a的行向量組，故有a行向量組的秩=rank(a)
關於向量組的行向量的秩和列向量的秩。書上說行向量的秩應該等於列向
4樓：匿名使用者
行秩和列秩都是1
只有1行，所以行秩是1就不用說了。
列秩來說，這個矩陣任何兩個列向量之間，都是線性相關的。
例如1和2之間，可以得到式子1*(-2)+2*1=0，所以線性相關2和3之間，可以得到式子2*（-3）+3*2=0，所以線性相關。
所以列向量中，最大無關組向量數量是1，多於1個向量，就會線性相關。
所以列秩也是1。
矩陣行向量組的秩等於列向量組的秩等於矩陣的秩，那我寫矩陣 1,2,3 它列向量組秩等於3，ha
列向量組的秩也是 1 2,3 可由 1 線性表示 呃，你確定它的列向量秩是3麼？請問老師，為什麼 矩陣的秩等於它的列向量組的秩，也等於它的行向量組的秩 首先，因為矩陣的秩就是定義為行向量組的秩 也可以定義成列向量組的秩 其次，矩陣的秩定義為它的行向量的秩。因為有結論 轉置矩陣與原矩陣有相同的秩。所以...
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