1樓：傾蓋如故
1、逆也是正交陣;
2、積也是正交陣;
3、行列式的值為正1或負1。
任何正交矩陣的行列式是+1或−1。這可從關於行列式的如下基本事實得出：（注：反過來不是真的；有+1行列式不保證正交性，即使帶有正交列，可由下列反例證實。）
對於置換矩陣，行列式是+1還是−1匹配置換是偶還是奇的標誌，行列式是行的交替函式。
比行列式限制更強的是正交矩陣總可以是在複數上可對角化來展示特徵值的完全的集合，它們全都必須有(複數)絕對值1。
擴充套件資料
正交矩陣的逆是正交的，兩個正交矩陣的積是正交的。事實上，所有n×n正交矩陣的集合滿足群的所有公理。它是n(n−1)/2維的緊緻李群，叫做正交群並指示為o(n)。
行列式為+1的正交矩陣形成了路徑連通的子群指標為2的o(n)正規子群，叫做旋轉的特殊正交群so(n)。商群o(n)/so(n)同構於o(1)，帶有依據行列式選擇[+1]或[−1]的投影對映。
帶有行列式−1的正交矩陣不包括單位矩陣，所以不形成子群而只是陪集；它也是(分離的)連通的。所以每個正交群被分為兩個部分；因為投影對映**，o(n)是so(n)與o(1)的半直積。
2樓：匿名使用者
如果：aa'=e（e為單位矩陣，a'表示「矩陣a的轉置矩陣」。）或a′a=e，則n階實矩陣a稱為正交矩陣
例如：1 0 1 0
矩陣a： 0 1 a的轉置： 0 1 此時 aa'=e
故a本身是正交矩陣
由於aa'=e 由逆矩陣定義 若ab=e 則b為a的逆矩陣 可以知道 a'為a的逆矩陣
也就是說正交矩陣本身必然是可逆矩陣
即若a是正交矩陣則a的n個行（列)向量是n維向量空間的一組標準正交基【即線性不相關】
在矩陣論中，正交矩陣（orthogonal matrix）是一個方塊矩陣q，其元素為實數，而且行與列皆為正交的單位向量，使得該矩陣的轉置矩陣為其逆矩陣。
作為一個線性對映（變換矩陣），正交矩陣保持距離不變，所以它是一個保距對映，具體例子為旋轉與鏡射。
行列式值為+1的正交矩陣，稱為特殊正交矩陣，它是一個旋轉矩陣。
行列式值為-1的正交矩陣，稱為瑕旋轉矩陣。瑕旋轉是旋轉加上鏡射。鏡射也是一種瑕旋轉。
3樓：七叔之家
正交矩陣特性
實數方塊矩陣是正交的，當且僅當它的列形成了帶有普通歐幾里得點積的歐幾里得空間r的正交規範基，它為真當且僅當它的行形成r的正交基。假設帶有正交(非正交規範)列的矩陣叫正交矩陣可能是誘人的，但是這種矩陣沒有特殊價值而沒有特殊名字；他們只是mm=d，d是對角矩陣。
1. 逆也是正交陣;
2. 積也是正交陣;
3. 行列式的值為正1或負1。
任何正交矩陣的行列式是 +1 或 −1。這可從關於行列式的如下基本事實得出:
反過來不是真的；有 +1 行列式不保證正交性，即使帶有正交列，可由下列反例證實。
對於置換矩陣，行列式是 +1 還是 −1 匹配置換是偶還是奇的標誌，行列式是行的交替函式。
比行列式限制更強的是正交矩陣總可以是在複數上可對角化來展示特徵值的完全的集合，它們全都必須有(複數)絕對值1。
群性質正交矩陣的逆是正交的，兩個正交矩陣的積是正交的。事實上，所有n×n正交矩陣的集合滿足群的所有公理。它是n(n−1)/2 維的緊緻李群，叫做正交群並指示為o(n)。
行列式為 +1 的正交矩陣形成了路徑連通的子群指標為 2 的o(n)正規子群，叫做旋轉的特殊正交群so(n)。商群o(n)/so(n) 同構於o(1)，帶有依據行列式選擇 [+1] 或 [−1] 的投影對映。帶有行列式 −1 的正交矩陣不包括單位矩陣，所以不形成子群而只是陪集；它也是(分離的)連通的。
所以每個正交群被分為兩個部分；因為投影對映**，o(n) 是so(n) 與o(1)的半直積。用實用術語說，一個相當的陳述是任何正交矩陣可以通過採用一個旋轉矩陣並可能取負它的一列來生成，如我們在 2×2 矩陣中看到的。如果n是奇數，則半直積實際上是直積，任何正交矩陣可以通過採用一個旋轉矩陣並可能取負它的所有列來生成。
現在考慮 (n+1)×(n+1) 右底元素等於 1 的正交矩陣。最後一列(和最後一行)的餘下元素必須是零，而任何兩個這種矩陣的積有同樣的形式。餘下的矩陣是n×n正交矩陣；因此o(n) 是o(n+1) (和所有更高維群)的子群。
因為 householder 正交矩陣形式的基本反射可把任何正交矩陣簡約成這種約束形式，一系列的這種反射可以把任何正交矩陣變回單位矩陣；因此正交群是反射群。最後一列可以被固定為任何單位向量，並且每種選擇給出不同的o(n) 在o(n+1) 中的複本；以這種方式o(n+1) 是在單位球s與纖維o(n) 上的叢。
類似的，so(n) 是so(n+1) 的子群；任何特定正交矩陣可以使用類似過程通過 givens 平面旋轉來生成。叢結構持續:so(n) ↪so(n+1) →s。
一個單一旋轉可以在最後一列的第一行生成一個零，而n−1 次旋轉序列將置零n×n旋轉矩陣的除了最後一列的最後一行的所有元素。因為平面是固定的，每次旋轉只有一個自由度，就是它的角度。通過歸納，so(n) 因此有
自由度，o(n) 也是。
置換矩陣簡單一些；它們不形成李群，只是一個有限群，n! 次對稱群sn。通過同類的討論，sn是sn+1 的子群。
偶置換生成行列式 +1 的置換矩陣的子群，n!/2 次交錯群。
4樓：匿名使用者
如果 a (a^t)＝(a^t) a＝i單位陣，那麼a是正交矩陣。僅滿足aa^(-1)＝i，a為可逆陣但不一定是正交陣。對於正交陣有 a逆＝a轉，∴正交矩陣總是:
可逆的、正交的、 單位陣。
5樓：謀略大師
2 運算性質 ①正交矩陣之積為正交陣
②正交矩陣的轉置為正交陣
③正交矩陣的伴隨矩陣為正交矩陣
什麼是正交矩陣，什麼叫正交矩陣
如果aat e e為單位矩陣，at表示 矩陣a的轉置矩陣 或ata e，則n階實矩陣a稱為正交矩陣。正交矩陣是實數特殊化的酉矩陣，因此總是屬於正規矩陣。儘管我們在這裡只考慮實數矩陣，但這個定義可用於其元素來自任何域的矩陣。正交矩陣畢竟是從內積自然引出的，所以對於複數的矩陣這導致了歸一要求。正交矩陣不...
若a為正交矩陣,求證aa,若A為正交矩陣,求證AA
a是正交矩陣 aa e a a 1由 aa e 得 aa e 所以 a a e 所以 a a e 即 a 也是正交矩陣 所以 a a 1 試證明 設a為n階實對稱矩陣,且a 2 a,則存在正交矩陣t,使得t 1at diag er,0 其中r為秩，er為r階單位矩陣 證明 a為實對稱矩陣，則幣可以對...
矩陣A為正交矩陣且A的行列式得值為負一,證明負一是A的特徵值
ax x x x x x x x ax ax x a ax x x所以 1 1 即a的所有特徵值為1或 1 若a的所有特徵值均為1，則 專a 1 2.n 1與 a 1矛盾屬 所以a至少有一個特徵值為 1 由已知,a e a aa t a e a t e a 所以 a e 0 所以 1 是a的特徵值 ...