1樓：匿名使用者
關係是：r(c)<=min(r(a),r(b))證明：將a,c按列分塊，
a=(a1,a2,...,an),c=(c1,c2,...,cm),令b=(bij)
則c=ab可表示為
(c1,c2,...,cm)=(a1,a2,...,an)b可得cj=b1ja1+b2ja2+...+bnjan (j=1,2,...,m)
即c的列向量組可由a的列向量組線性表示，
所以c的列向量組的秩<=a的列向量的秩。
即r(c)<=r(a)
同理可證r(c)<=r(b)
所以r(c)<=min(r(a),r(b))。
兩個矩陣相乘零矩陣，秩的關係
2樓：
兩種證明方法。
第一種是用分塊矩陣乘法來證明。(不太好書寫，可以見線性代數習題冊答案集)；
第二種是線性方程組的解的關係來證明。
因為ab=0，所以b的每一列都是線性方程組ax=0的解。而根據線性方程組理論，ax=0的基礎解系中線性無關的解的個數（或者說解空間的維數）≤ n-r(a)。而b的列向量組是解空間的一部分，所以b的列向量組中的極大線性無關組中的向量個數(就是秩r(b))一定≤基礎解系中線性無關的解的個數，也就是≤ n-r(a)，所以r(b)≤ n-r(a)，從而r(a)+r(b)<=n。
兩個矩陣的乘積為零矩陣，那麼這兩個矩陣的秩之間有什麼關係？
3樓：
忘得差不多了，只記得有一個：
兩個n階矩陣的乘積為零矩陣，則兩個n階矩陣的秩之和小於等於n
兩個矩陣乘積的秩滿足的不等式有哪些
4樓：匿名使用者
1、r(a)≤min(m，n)≤m，n。
2、r(ka+lb)≤r(a)+r(b)。
3、r(ab)≤min(r(a)，r(b)) ≤r(a)。
4、r(abc)≥r(ab)+r(bc)-r(b)。
5、r(ac)≥r(a) +r(c) -n上推，令b=in。
6、r(ka+lb)-n≤r(a)+r(b)-n≤r(ab)≤min(r(a)，r(b))≤r(a)。
擴充套件資料：m×n矩陣的秩最大為m和n中的較小者。有儘可能大的秩的矩陣被稱為有滿秩，否則矩陣是秩不足的。
矩陣的列秩和行秩總是相等的，因此它們可以簡單地稱作矩陣a的秩。通常表示為rk(a) 或 ranka。
只有零矩陣有秩0，a的秩最大為 min(m，n) f是單射，當且僅當a有秩n（在這種情況下，我們稱 a有「滿列秩」）。
5樓：小樂笑了
行秩 = 列秩 = 秩
r(a) ≤
min(m,n) ≤ m, n
r(a+b) = r(b+a)
r(a-b) = r(b-a)
r(ka + lb) ≤ r(a) + r(b)r(ab) ≤ min(r(a), r(b)) ≤ r(a)r(b)
r(abc) ≥ r(ab) + r(bc) - r(b)frobenius(sylvester)不等式
r(ac) ≥ r(a) + r(c) - n上推，令b=inr(a+b)-n = r(b+a)-n
r(a-b)-n = r(b-a)-n
r(ka+lb)-n ≤ r(a) + r(b) - n ≤ r(ab) ≤ min(r(a), r(b)) ≤ r(a)
r(b)上推
兩個矩陣的乘積為零 它們的 秩有什麼關係
6樓：甜美志偉
關係： r(a)+r(b)<=n；
推導過程如下：
設ab = 0, a是mxn, b是nxs 矩陣；
則 b 的列向量都是 ax=0的秩；
所以 r(b)<=n-r(a)；
所以 r(a)+r(b)<=n。
擴充套件資料：
秩性質我們假定 a是在域 f上的 m× n矩陣並描述了上述線性對映。
只有零矩陣有秩 0 a的秩最大為 min(m,n) f是單射，當且僅當 a有秩 n（在這種情況下，我們稱 a有「滿列秩」）。
f是滿射，當且僅當 a有秩 m（在這種情況下，我們稱 a有「滿行秩」）。
在方塊矩陣a（就是 m= n) 的情況下，則 a是可逆的，當且僅當 a有秩 n（也就是 a有滿秩）。如果 b是任何 n× k矩陣，則 ab的秩最大為 a的秩和 b的秩的小者。
即：秩（ab）≤min（秩（a），秩（b)) 推廣到若干個矩陣的情況。
就是：秩（a1a2...am)≤min（秩（a1），秩（a2），...
秩（am)) 證明：考慮矩陣的秩的線性對映的定義，令a、b對應的線性對映分別為 f和 g，則秩（ab)表示複合對映 f·g，它的象 im f·g是 g的像 im g在對映 f作用下的象。
然而 im g是整個空間的一部分，因此它在對映 f作用下的象也是整個空間在對映 f作用下的象的一部分。也就是說對映 im f·g是im f的一部分。
對矩陣就是：秩（ab）≤秩（a）。對於另一個不等式：
秩（ab）≤秩（b），考慮 im g的一組基：（e1，e2，...，en），容易證明（f(e1），f(e2），...
，f(en））生成了空間 im f·g，於是 im f·g的維度小於等於im g的維度。
對矩陣就是：秩（ab）≤秩（b）。因此有：秩（ab）≤min（秩（a），秩（b））。若干個矩陣的情況證明類似。
作為 "<" 情況的一個例子，考慮積 兩個因子都有秩 1，而這個積有秩 0。可以看出，等號成立當且僅當其中一個矩陣（比如說 a）對應的線性對映不減少空間的維度，即是單射，這時 a是滿秩的。
於是有以下性質：如果 b是秩 n的 n× k矩陣，則 ab有同 a一樣的秩。如果 c是秩 m的 l× m矩陣，則 ca有同 a一樣的秩。
a的秩等於 r，當且僅當存在一個可逆 m× m矩陣 x和一個可逆的 n× n矩陣 y使得 這裡的 ir指示 r× r單位矩陣。證明可以通過高斯消去法構造性地給出。
矩陣的秩加上矩陣的零化度等於矩陣的縱列數（這就是秩-零化度定理）。
7樓：墨陌沫默漠末
關係是r(a)+r(b)<=n。
因為ab=0，所以b的每一列都是線性
方程組ax=0的解。而根據線性方程組理論，ax=0的基礎解系中線性無關的解的個數（或者說解空間的維數）≤ n-r(a)。
而b的列向量組是解空間的一部分，所以b的列向量組中的極大線性無關組中的向量個數(就是秩r(b))一定≤基礎解系中線性無關的解的個數，也就是≤ n-r(a)，所以r(b)≤ n-r(a)，從而r(a)+r(b)<=n。
方陣(行數、列數相等的矩陣)的列秩和行秩總是相等的，因此它們可以簡單地稱作矩陣a的秩。通常表示為r(a)，m × n矩陣的秩最大為m和n中的較小者，表示為 min(m,n)。有儘可能大的秩的矩陣被稱為有滿秩；類似的，否則矩陣是秩不足（或稱為「欠秩」）的。
設a是一組向量，定義a的極大無關組中向量的個數為a的秩。
定義1、在m*n矩陣a中，任意決定k行和k列交叉點上的元素構成a的一個k階子矩陣，此子矩陣的行列式，稱為a的一個k階子式。
例如，在階梯形矩陣中，選定1，3行和3，4列，它們交叉點上的元素所組成的2階子矩陣的行列式 就是矩陣a的一個2階子式。
定義2、a=(aij)m×n的不為零的子式的最大階數稱為矩陣a的秩，記作ra，或ranka或r(a)。
特別規定零矩陣的秩為零。
顯然ra≤min(m,n) 易得：
若a中至少有一個r階子式不等於零，且在r由定義直接可得n階可逆矩陣的秩為n，通常又將可逆矩陣稱為滿秩矩陣, det(a)≠0；不滿秩矩陣就是奇異矩陣，det(a)=0。
由行列式的性質1(1.5)知，矩陣a的轉置at的秩與a的秩是一樣的。
8樓：匿名使用者
它們的秩序關係是一個數字乘以零
9樓：匿名使用者
設ab = 0, a是mxn, b是nxs 矩陣則 b 的列向量都是 ax=0 的解
所以 r(b)<=n-r(a)
所以 r(a)+r(b)<=n
10樓：電燈劍客
如果a是mxn的矩陣，b是nxk的矩陣，ab=0，那麼rank(a)+rank(b)<=n
11樓：alone丶
關係是:r(c)。。。。
矩陣的秩與特徵值有什麼關係
12樓：景田不是百歲山
1、方陣a不滿秩等價於a有零特徵值。
2、a的秩不小於a的非零特徵值的個數。
線性變換秩是多少，就一定找到有多少個線性無關的特徵向量。因為一個特徵向量只能屬於一個特徵值，所以有多少個線性無關的特徵向量，就有多少個特徵值（不管特徵值是不是一樣）。這裡有n個1，都是一樣的（從特徵多項式也知道有n個重根）。
因為非退化的線性替換不改變空間的維數，不改變矩陣的秩。
13樓：匿名使用者
這是因為，矩陣a的相似對角矩陣的主對角元都是矩陣a的特徵值，又因為矩陣a的秩與它的相似對角陣的秩相等，因此，如果矩陣a的秩為n，那麼它就有n個非零特徵值。
14樓：匿名使用者
為討論方便，設a為m階方陣
證明：設方陣a的秩為n
因為任何矩陣都可以通過一系列初等變換，變成形如
1 0 … 0 … 0
0 1 … 0 … 0
…………………
0 0 … 1 … 0
0 0 … 0 … 0
…………………
0 0 … 0 … 0
的矩陣，稱為矩陣的標準形（注：這不是二次型的對稱矩陣提到的標準形）
本題討論的是方陣，就是可以通過一系列初等行變換的標準形為
主對角線前若干個是1；其餘的是若干個0
以及除對角線以外的元素都是0。設a的標準形為b
因為「m×m階矩陣構成的數域p上的線性空間」與
「該線性空間上的全體線性變換在數域p上的線性空間」同構。
所以研究得到線性空間的性質可以照搬到線性變換空間上應用，
從同構的意義上說，他們是「無差別」的。
（由於線性變換符號的字型不能單獨以花體字型區別，所以
用形如「線性變換a」，表示線性變換
用形如「矩陣a」，表示線性變換的矩陣）
前面知識應該提到的內容：
一系列初等矩陣的乘積是非退化的，初等變換不改變矩陣的秩，初等變換是可逆的
所以矩陣b的秩（1的個數），就是矩陣a的秩，就是n
因為可逆且不改變秩，所以討論矩陣b的情況，可以應用到矩陣a上。
我們隨即看到，
如果線性變換b（或者說矩陣b）的秩是n，則線性變換b就是
對線性空間的前n個基做恆等對映（因為基向量組沒有秩序，我們取前n個不會有原則性的問題）
後m-n個基做零變換，所構成的線性變換，線性變換b的特徵多項式是(λ-1)^n
就可以快速找到n個線性無關的特徵向量，這些特徵向量直接取線性空間的前n個基就可以了。
我們得到的結論是，線性變換b秩是多少，就一定找到有多少個線性無關的特徵向量。
因為一個特徵向量只能屬於一個特徵值，
所以有多少個線性無關的特徵向量，就有多少個特徵值（不管你的特徵值是不是一樣）
這裡有n個1，都是一樣的（從特徵多項式也知道有n個重根）
因為非退化的線性替換不改變空間的維數，不改變矩陣的秩。
下面我們解釋重根為什麼按重數計算，對矩陣b做初等行變換，
第i行乘以數域p上的數k≠1（當然，如果k=1純屬脫褲子放屁），
我們的特徵多項式變為(λ-1)^(n-1)*(λ-k)，
其它初等變換相應類推。
借用學物理的思維，一個變換莫測的關係中，尋找守恆量是什麼？這個是有意義的。
而做這樣的非退化的線性變換變換，雖然特徵值會隨之改變，
但是守恆量是一定能找到n個線性無關的特徵向量，其個數就是矩陣b（線性變換b）的秩是不變的。
這樣我們就發現了守恆量，至於屬於不同特徵向量的特徵值是否相等，純屬巧合，無意義。
有多少個碰巧相等的都無所謂，有多少個相等（相當於特徵多項式的幾次方），就當然重複計算。
最後來一個問題的封閉，題目說的是方陣a
這個簡單，將矩陣b做一系列初等行變換，雖然特徵多項式改變了，線性變換改變了，
特徵多項式也變了，但是我們發現的守恆量n，是不變的。
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