1樓：祿修潔呂闊
【反函式的性質】
（1）互為反函式的兩個函式的圖象關於直線y＝x對稱；
（2）函式存在反函式的充要條件是，函式的定義域與值域是一一對映；
（3）一個函式與它的反函式在相應區間上單調性一致；
（4）一般的偶函式一定不存在反函式(但一種特殊的偶函式存在反函式,例f（x）=a（x=0）它的反函式是f（x）=0（x=a）這是一種極特殊的函式)，奇函式不一定存在反函式。關於y軸對稱的函式一定沒有反函式。若一個奇函式存在反函式，則它的反函式也是奇函式。
(5)一切隱函式具有反函式；
(6)一段連續的函式的單調性在對應區間內具有一致性；
（7）嚴格增（減）的函式一定有嚴格增（減）的反函式【反函式存在定理】。
（8）反函式是相互的
（9）定義域、值域相反對應法則互逆（三反）(10)原函式一旦確定，反函式即確定（三定）例：y=2x-1的反函式是y=0.5x+0.5
2樓：陶思柔悟雁
反函式就是把自變數改成函式值,例如f(x)=3x反函式就是f(x)-1=1/3x(-1是在頂上的)
反函式的導數是原函式的導數的倒數 如何理解，先介紹，在舉例說明
3樓：匿名使用者
理解方法有很多啊。
說一個比較通常的理解吧，函式f(x), 定義域是d，值域df,設一個數對(x0,f(x0))，令y0=f(x0).
也就是說如果這個函式有反函式的話，
命題f(x)在x0處的導數為f'(x0),等價於說其反函式在y0處的導數值是1/f'(x0).
因為兩個函式之間實際上不過是把x和y換了一下，也就把f(x)的導數（y1-y0）/(x1-x0)換成了
（x1-x0）/(y1-y0),在數值上就變成倒數關係了，前者是x1在分母上，後者是y1在分母上。
比如y=x^2,它在（1，2）處的導數值是2，
它的反函式在（1, 2）處的導數值是1/2。
4樓：匿名使用者
y = f(x)
反函式：x = g(y)
g() = f'() ---- f 的反函式dg(x)/dx = dx/dy = 1/(dy/dx) = 1/[df(x)/dx]
即： "反函式的導數是原函式的導數的倒數"
舉例：原函式：y ＝ ln x
反函式：x ＝ e^(y)
即：反函式x =e^(y)的導數dx/dy=e^(y)等於原函式y=ln x的導數(1/x)的倒數x，即e^(y)。
如何求反函式，有什麼公式
5樓：特特拉姆咯哦
一、判斷反函式是否存在：
由反函式存在定理：嚴格單調函式必定有嚴格單調的反函式，並且二者單調性相同：
1、先判讀這個函式是否為單調函式，若非單調函式，則其反函式不存在。
設y=f(x)的定義域為d，值域為f(d)。如果對d中任意兩點 x₁ 和 x₂ ，當 x₁y₂，則稱 y=f(x) 在d上嚴格單調遞減。
2、再判斷該函式與它的反函式在相應區間上單調性是否一致；
滿足以上條件即反函式存在。
二、具體求法：
例如 求 y=x^2 的反函式。
x=±根號y，則 f(x) 的反函式是正負根號 x，求完後注意定義域和值域，反函式的定義域就是原函式的值域，反函式的值域就是原函式的定義域。
6樓：善言而不辯
一般是將y=f(x)轉換成x=f(y)的形式，然後將x、y互換即可如y=ln(x)→x=e^y→反函式y=e^xy=x³→x=³√y→反函式y=³√x
三角函式特殊一點，如arcsin(x)因值域為[-π/2,π/2],需要分段求（向上或向下平移）：
y=sinx (-π/2≤x≤π/2)
反函式y=arcsinx
y=sinx (π/2≤x≤3π/2)
反函式y=π-arcsinx
y=sinx (3π/2≤x≤5π/2)反函式y=2π+arcsinx...
7樓：在龍興寺背誦詩歌的娥眉月
反函式就是把y換成x x換成y 之後化成y=kx的形式
8樓：大漠孤煙直
理解反函式的概念，掌握求反函式的方法步驟。 設有函式， 若變數y在函式的值域內任取一值y時， 變數x在函式的定義域內必有一值x與之對應，所以，那麼變數x是變數y的函式.這個函式用來表示，稱為函式的反函式.
(1) 由原函式y=f(x)求出它的值域； (2) 由原函式y=f(x)反解出x=f-1(y)； (3) 交換x，y改寫成y=f-1(x)； (4) 用f(x)的值域確定f-1(x)的定義域。 我們知道，函式y=f(x)若存在反函式，則y=f(x)與它的反函式y=f-1(x)有如下性質： 性質 若y=f-1(x)是函式y=f(x)的反函式，則有f(a)=bf-1(b)=a。
這一性質的幾何解釋是y=f(x)與其反函式y=f-1(x)的圖象關於直線y=x對稱。
9樓：迅崎
反函式公式就一個：y=f(x) ,x=g(y)則y'=f'(x)=1/g'(y).
如y=arc sinx
y'=1/(siny)'=1/cosy=1/√￣(1-sin²y)=1/√￣(1-x²)
這個反函式的公式是怎麼理解的……
10樓：承冷菱
一般來說，設函式y=f(x)(x∈a)的值域是c，若找得到一個函式g(y)在每一處g(y)都等於x，這樣的函式x= g(y)(y∈c)叫做函式y=f(x)(x∈a)的反函式，記作y=f-1(x) 。反函式y=f -1(x)的定義域、值域分別是函式y=f(x)的值域、定義域。最具有代表性的反函式就是對數函式與指數函式。
一般地，如果x與y關於某種對應關係f（x）相對應，y=f（x），則y=f（x）的反函式為x=f (y)或者y=f-1（x）。存在反函式(預設為單值函式）的條件是原函式必須是一一對應的（不一定是整個數域內的）。注意：
上標"−1"指的是函式冪，但不是指數冪。
設函式y=f(x)的定義域是d，值域是f(d)。如果對於值域f(d)中的每一個y，在d中有且只有一個y使得g(y)=x，則按此對應法則得到了一個定義在f(d)上的函式，並把該函式稱為函式y=f(x)的反函式，記為
由該定義可以很快得出函式f的定義域d和值域f(d)恰好就是反函式f-1的值域和定義域，並且f-1的反函式就是f，也就是說，函式f和f-1互為反函式，即：
反函式與原函式的複合函式等於x，即：
習慣上我們用x來表示自變數，用y來表示因變數，於是函式y=f(x)的反函式通常寫成
例如，函式
的反函式是
相對於反函式y=f-1(x)來說，原來的函式y=f(x)稱為直接函式。反函式和直接函式的影象關於直線y=x對稱。這是因為，如果設(a,b)是y=f(x)的影象上任意一點，即b=f(a)。
根據反函式的定義，有a=f-1(b)，即點(b,a)在反函式y=f-1(x)的影象上。而點(a,b)和(b,a)關於直線y=x對稱，由(a,b)的任意性可知f和f-1關於y=x對稱。
於是我們可以知道，如果兩個函式的影象關於y=x對稱，那麼這兩個函式互為反函式。這也可以看做是反函式的一個幾何定義。
在微積分裡，f (n)(x)是用來指f的n次微分的。
若一函式有反函式，此函式便稱為可逆的（invertible）。
一函式f若要是一明確的反函式，它必須是一雙射函式，即：
（單射）陪域上的每一元素都必須只被f對映到一次：不然其反函式將必須將元素對映到超過一個的值上去。
（滿射）陪域上的每一元素都必須被f對映到：不然將沒有辦法對某些元素定義f的反函式。
若f為一實變函式，則若f有一明確反函式，它必通過水平線測試，即一放在f圖上的水平線
請點選輸入**描述
必對所有實數k，通過且只通過一次。[1]
反函式存在定理
定理：嚴格單調函式必定有嚴格單調的反函式，並且二者單調性相同。
在證明這個定理之前先介紹函式的嚴格單調性。
設y=f(x)的定義域為d，值域為f(d)。如果對d中任意兩點x1和x2，當x1y2，則稱y=f(x)在d上嚴格單調遞減。
證明：設f在d上嚴格單增，對任一y∈f(d)，有x∈d使f(x)=y。
而由於f的嚴格單增性，對d中任一x'x，都有y''>y。總之能使f(x)=y的x只有一個，根據反函式的定義，f存在反函式f-1。
任取f(d)中的兩點y1和y2，設y1若此時x1≥x2，根據f的嚴格單增性，有y1≥y2，這和我們假設的y1因此x1如果f在d上嚴格單減，證明類似。
希望我能幫助你解疑釋惑。
反函式的反函式的符號
11樓：mono教育
反函式的符號記為f -1(x)。
反函式符號是記錄一個函式的反函式的符號，英文為inverse function，中文為反函式。函式 f 的反函式就念成 「 函式 f 反函式 」，念成其他都是不對的。
反函式的定義不算很明確，但是說到底就是把y=f(x)解出來，表示成x=g(y)，但是這個函式並不是f(x)的反函式，這個時候雖然表示形式不同，
但和y=f(x)實質上還是同一個函式，交換xy得到y=g(x)，這個函式才是f(x)的反函式。所以要求反函式就可以直接把xy交換，解出y=g(x)=f-1(x)就是反函式。
12樓：
反函式的符號記為f -1(x)，在中國的教材裡，反三角函式記為arcsin，arccos等等，但是在歐美一些國家，sinx的反函式記為sin-1(x)。咋看咋感覺這記號大有來頭，怎麼就覺得和x這種記號有些關係呢？
事實上，這種想法是對的，數學裡沒有無緣無故的規定。x^-1表示1/x，那麼f^-1(x)與這是否有些關係呢？下面舉幾個例子來說明這點。
當然，f^-1(x)肯定和1/f(x)不等，但是確實有與之很相近的性質。
1：反函式的反函式
為了好看以及對比，我有時會把f(x)寫成f.對比，我把我想各位應該很好理解，反函式的反函式當然就是原函式，寫成數學語言就是(f)=f,看看，這是不是有點像指數的運演算法則：(x)=x呢？
2：反函式的導函式
這個應該就很像了。這也是高等數學的內容，中學同學就看不懂了，所以有些東西必須等到後面才能懂的。
(f(x))』=1/f'(y)
用自然語言來說就是，反函式的導數，等於原函式導數的倒數。這話有點繞，不過應該能讀懂，這個似乎就進一步揭示了反函式符號的意義。
在這裡要說明的是，y=x的反函式應該是x=y。只不過在通常的情況下，我們將x寫作y，y寫作x，以符合習慣。所以，雖然反函式和原函式不互為倒數，但是其導函式卻是互為倒數。
3：反函式的複合函式
話說這個內容屬於高等數學的內容了。大夥想想函式裡面最簡單最基本的函式是什麼函式？不用說，肯定就是我們的恆等函式y=x，這就和我們數字裡面的1一般地位，所以，我們記恆等函式為「1x」。
數字的基本運算就是加減乘除，而函式也有運算，雖然也有加減乘除，但是屬於函式自己的，就是複合與反函式。我們知道在實數裡，x與x的乘積等於1，在函式的複合運算裡，也有類似的性質，函式f和g的複合記為f○g，那麼下面的性質成立
f○f=1x
1x○f=f○1x=f
這第一個式子已經說明很多問題。實際上，這些都是屬於高等代數的內容，在每一個封閉的系統裡，都有一個「單位1」，都有自己的運演算法則，函式裡的就是1x，實數裡的就是數字1等等。要深刻理解這些，也只有大家接觸群論以後才會深入理解。
這裡也只是做點皮毛而已。我將在後面另起一文，介紹函式的「冪」的概念，就如同數的冪一樣。
函式與反函式的關係是什麼？什麼是反函式？
函式與反函式關於關於y x對稱。如果設 a,b 是y f x 的影象上任意一點，即b f a 根據反函式的定義，有a f 1 b 即點 b,a 在反函式y f 1 x 的影象上。而點 a,b 和 b,a 關於直線y x對稱，由 a,b 的任意性可知f和f 1關於y x對稱。性質。1 函式f x 與它...
反函式與原函式一定是關於yx對稱的嗎
一定。你可以把他當作是在平面上做了一個x y軸的替換，就相當於相對於y x的直線對稱 當然咯.可以用反函式的定義來證明 為何反函式與原函式關於y x這條線對稱?設原函式上任意一點的座標為 x,y 由於對於求出的反函式為x f y 要把x y 互換所以 y,x 在其反函式上 而 x,y y,x 關於y...
反函式是這樣嗎如下圖,原函式的x和y互換
第一個正確 第二個錯誤,正確的應該是 y lnx的反函式是 y e x因為y lnx是自然對數,其反函式是自然指數。你寫的y lnx和x lny是同一個函式,都是自然對數。是這樣的,單調函式才有反函式 為何反函式與原函式關於y x這條線對稱?設原函式上任意一點的座標為 x,y 由於對於求出的反函式為...