1樓：匿名使用者
導數取正，函式單調遞增，取負，函式單調遞減
什麼是導數?
2樓：縱橫豎屏
當函式y=f（x）的自變數x在一點x0上產生一個增量δx時，函式輸出值的增量δy與自變數增量δx的比值在δx趨於0時的極限a如果存在，a即為在x0處的導數，記作f'（x0）或df（x0）/dx。
導數是函式的區域性性質。一個函式在某一點的導數描述了這個函式在這一點附近的變化率。如果函式的自變數和取值都是實數的話，函式在某一點的導數就是該函式所代表的曲線在這一點上的切線斜率。
導數的本質是通過極限的概念對函式進行區域性的線性逼近。例如在運動學中，物體的位移對於時間的導數就是物體的瞬時速度。
不是所有的函式都有導數，一個函式也不一定在所有的點上都有導數。若某函式在某一點導數存在，則稱其在這一點可導，否則稱為不可導。然而，可導的函式一定連續；不連續的函式一定不可導。
對於可導的函式f(x)，x↦f'(x)也是一個函式，稱作f(x)的導函式（簡稱導數）。尋找已知的函式在某點的導數或其導函式的過程稱為求導。
實質上，求導就是一個求極限的過程，導數的四則運演算法則也**於極限的四則運演算法則。反之，已知導函式也可以倒過來求原來的函式，即不定積分。
微積分基本定理說明了求原函式與積分是等價的。求導和積分是一對互逆的操作，它們都是微積分學中最為基礎的概念。
擴充套件資料：
導數與函式的性質：
單調性：
（1）若導數大於零，則單調遞增；若導數小於零，則單調遞減；導數等於零為函式駐點，不一定為極值點。需代入駐點左右兩邊的數值求導數正負判斷單調性。
（2）若已知函式為遞增函式，則導數大於等於零；若已知函式為遞減函式，則導數小於等於零。
根據微積分基本定理，對於可導的函式，有：
如果函式的導函式在某一區間內恆大於零（或恆小於零），那麼函式在這一區間內單調遞增（或單調遞減），這種區間也稱為函式的單調區間。
導函式等於零的點稱為函式的駐點，在這類點上函式可能會取得極大值或極小值（即極值可疑點）。進一步判斷則需要知道導函式在附近的符號。
對於滿足的一點，如果存在使得在之前區間上都大於等於零，而在之後區間上都小於等於零，那麼是一個極大值點，反之則為極小值點。
x變化時函式（藍色曲線）的切線變化。函式的導數值就是切線的斜率，綠色代表其值為正，紅色代表其值為負，黑色代表值為零。
凹凸性：
可導函式的凹凸性與其導數的單調性有關。如果函式的導函式在某個區間上單調遞增，那麼這個區間上函式是向下凹的，反之則是向上凸的。
如果二階導函式存在，也可以用它的正負性判斷，如果在某個區間上恆大於零，則這個區間上函式是向下凹的，反之這個區間上函式是向上凸的。曲線的凹凸分界點稱為曲線的拐點。
3樓：歲潤靜好
1、導數的定義
設函式y=f(x)在點x=x0及其附近有定義，當自變數x在x0處有改變數△
x（△x可正可負），則函式y相應地有改變數△y=f(x0＋△x)－f(x0)，這兩個改變數的比叫做函式y=f(x)在x0到x0＋△x之間的平均變化率.
如果當△x→0時，有極限，我們就說函式y=f(x)在點x0處可導，這個極限叫做f(x)在點x0處的導數（即瞬時變化率，簡稱變化率），記作f′(x0)或，即
函式f(x)在點x0處的導數就是函式平均變化率當自變數的改變數趨向於零時的極限．如果極限不存在，我們就說函式f(x)在點x0處不可導.
2、求導數的方法
由導數定義，我們可以得到求函式f(x)在點x0處的導數的方法：
（1）求函式的增量△y=f(x0＋△x)－f(x0)；
（2）求平均變化率；
（3）取極限，得導數
3、導數的幾何意義
函式y=f(x)在點x0處的導數的幾何意義，就是曲線y=f(x)在點p（x0，f(x0)）處的切線的斜率f′(x0).
相應地，切線方程為y－y0= f′(x0)(x－x0).
4、幾種常見函式的導數
函式y=c（c為常數）的導數 c′=0.
函式y=xn（n∈q）的導數 (xn)′=nxn－1
函式y=sinx的導數 (sinx)′=cosx
函式y=cosx的導數 (cosx)′=－sinx
5、函式四則運算求導法則
和的導數 (u＋v)′=u′＋v′
差的導數 (u－v)′= u′－v′
積的導數 (u·v)′=u′v＋uv′
商的導數 .
6、複合函式的求導法則
一般地，複合函式y=f[φ(x)]對自變數x的導數y′x，等於已知函式對中間變數u=φ(x)的導數y′u，乘以中間變數u對自變數x的導數u′x，即y′x=y′u·u′x.
7、對數、指數函式的導數
（1）對數函式的導數
①； ②.公式輸入不出來
其中（1）式是（2）式的特殊情況，當a=e時，（2）式即為（1）式.
（2）指數函式的導數
①(ex)′=ex
②(ax)′=axlna
其中（1）式是（2）式的特殊情況，當a=e時，（2）式即為（1）式.
導數又叫微商，是因變數的微分和自變數微分之商；給導數取積分就得到原函式（其實是原函式與一個常數之和）。
4樓：嶽愷歌象強
導數（derivative）是微積分中的重要基礎概念。當自變數的增量趨於零時，因變數的增量與自變數的增量之商的極限。在一個函式存在導數時，稱這個函式可導或者可微分。
可導的函式一定連續。不連續的函式一定不可導。導數實質上就是一個求極限的過程，導數的四則運演算法則**於極限的四則運演算法則。
導數另一個定義：當x=x0時，f『(x0)是一個確定的數。這樣，當x變化時，f'(x)便是x的一個函式，我們稱他為f(x)的導函式（derivative
function）（簡稱導數）。
y=f(x)的導數有時也記作y'，即
f'(x)=y'=limδx→0[f(x+δx)-f(x)]/δx
物理學、幾何學、經濟學等學科中的一些重要概念都可以用導數來表示。如，導數可以表示運動物體的瞬時速度和加速度、可以表示曲線在一點的斜率、還可以表示經濟學中的邊際和彈性。
以上說的經典導數定義可以認為是反映區域性歐氏空間的函式變化。
為了研究更一般的流形上的向量叢截面（比如切向量場）的變化，導數的概念被推廣為所謂的「聯絡」。
有了聯絡，人們就可以研究大範圍的幾何問題，這是微分幾何與物理中最重要的基礎概念之一。
注意：1.f'(x)<0是f(x)為減函式的充分不必要條件，不是充要條件。
2.導數為零的點不一定是極值點。當函式為常值函式，沒有增減性，即沒有極值點。
但導數為零。（導數為零的點稱之為駐點，如果駐點兩側的導數的符號相反，則該點為極值點，否則為一般的駐點，如y=x^3中f『(0)=0，x=0的左右導數符號為正，該點為一般駐點。）
5樓：鏡浠月
導數（derivative），也叫導函式值。又名微商，是微積分中的重要基礎概念。當函式y=f（x）的自變數x在一點x0上產生一個增量δx時，函式輸出值的增量δy與自變數增量δx的比值在δx趨於0時的極限a如果存在，a即為在x0處的導數，記作f'（x0）或df（x0）/dx。
導數是函式的區域性性質。一個函式在某一點的導數描述了這個函式在這一點附近的變化率。如果函式的自變數和取值都是實數的話，函式在某一點的導數就是該函式所代表的曲線在這一點上的切線斜率。
導數的本質是通過極限的概念對函式進行區域性的線性逼近。例如在運動學中，物體的位移對於時間的導數就是物體的瞬時速度。 不是所有的函式都有導數，一個函式也不一定在所有的點上都有導數。
若某函式在某一點導數存在，則稱其在這一點可導，否則稱為不可導。然而，可導的函式一定連續；不連續的函式一定不可導。
6樓：建瑤鎮甲
1.概念
一個變數隨某個變數變化時的速度或變化率；例如路程對於時間的導數便是速度。
若變數y
隨變數x
變化的函式關係記為y=??(x)，則它在一點x處的導數記為y┡=??┡(x),按定義,它是變化量之比的極限：
。當這個極限存在時,就說函式??(x)在這點x處可導或者可微。
導數y┡=??┡(x)，在函式??(x)可導的範圍內是x的一個函式,稱為函式??(x)的導函式,亦稱導數（見微分學）。
2.應用
導數的概念構成一種思路，當我們在處理真實世界的問題時，常常遵循這個思路來獲得對於實際物件的性質的刻畫。導數概念具有很強的實際問題的背景，而在實際問題當中總是能夠遇到需要應用導數概念來加以刻畫的概念。由於當初在幾何學問題中，為了要描述斜率這個概念，才啟發人們建立了抽象的一般的導數的概念。
比方說在物理學領域，需要大量地應用導數的概念，來刻畫屬於變化率，增長率，強度，通量，流量等等一大類的物理量。例如速度，加速度，電流強度，熱容，等等。在實際問題當中，應該善於提取複雜現象當中所蘊涵的導數概念。
3.求導公式
4.運演算法則
導數實質上就是一個求極限的過程，導數的四則運演算法則**於極限的四則運演算法則。
5.高階導數
導函式本身就是一個新的函式，應該同樣可以再次對它關於自變數取導數，甚至多次地重複這種步驟，從而得到所謂高階導數。如加速度的概念，就是基於位移對時間的二次導數，二階導數的幾何意義是極其鮮明的，它能反映曲線的凹向。
公式：以及一個基本求導法則：
7樓：丙秋芹箕錦
導數亦名紀數、微商，由
速度變化問題和曲線的切線問題而抽象出來的數學概念。又稱變化率。
如一輛汽車在10小時內走了
600千米，它的平均速度是60千米／小時，但在實際行駛過程中，是有快慢變化的，不都是60千米／小時。為了較好地反映汽車在行駛過程中的快慢變化情況，可以縮短時間間隔，設汽車所在位置s與時間t的關係為s＝f（t），那麼汽車在由時刻t0變到t1這段時間內的平均速度是[f(t1)-f(t0)/t1-t0]，當
t1與t0很接近時，汽車行駛的快慢變化就不會很大，平均速度就能較好地反映汽車在t0
到t1這段時間內的運動變化情況
，自然就把極限[f(t1)-f(t0)/t1-t0]
作為汽車在時刻t0的瞬時速度，這就是通常所說的速度。一般地，假設一元函式
y＝f(x
)在x0點的附近(x0－a
，x0＋a)內有定義，當自變數的增量δx＝
x－x0→0時函式增量
δy＝f（x）－
f（x0）與自變數增量之比的極限存在且有限，就說函式f在x0點可導，稱之為f在x0點的導數（或變化率)。若函式f在區間i
的每一點都可導，便得到一個以i為定義域的新函式，記作
f′，稱之為f的導函式，簡稱為導數。函式y＝f（x）在x0點的導數f′（x0）的幾何意義：表示曲線l
在p0［x0，f（x0）］
點的切線斜率。
編輯本段導數是微積分中的重要概念。
導數定義為：當自變數的增量趨於零時，因變數的增量與自變數的增量之商的極限。在一個函式存在導數時，稱這個函式可導或者可微分。可導的函式一定連續。不連續的函式一定不可導。
物理學、幾何學、經濟學等學科中的一些重要概念都可以用導數來表示。如，導數可以表示運動物體的瞬時速度和加速度、可以表示曲線在一點的斜率、還可以表示經濟學中的邊際和彈性。
以上說的經典導數定義可以認為是反映區域性歐氏空間的函式變化。
為了研究更一般的流形上的向量叢截面（比如切向量場）的變化，導數的概念被推廣為所謂的「聯絡」。
有了聯絡，人們就可以研究大範圍的幾何問題，這是微分幾何與物理中最重要的基礎概念之一。
函式的平均變化率與函式影象上兩點間的斜率有何關係
函式f x 在區間 x，x x 的平均變化率為 f x x f x x，而影象上兩點x x，x兩點間的斜率同樣為 f x x f x x，因此兩者是相當的關係。函式在區間上的平均變化率與在某點處的瞬時變化率有什麼區別和關係？區別 函式y f x 的平均變化率 y x f x2 f x1 x2 x1 ...
一次函式的平均變化率與瞬時變化率相同麼
一次涵數是線性涵數它的平均變化率與瞬時變化率相同 數學中平均變化率和瞬時變化率的區別 平均是起點到終點的直線的斜率 瞬時變化率就是某個點的切線的斜率 平均變化率指的是整體,瞬時變化率指的是某一點的導數 導數與平均變化率與瞬時變化率之間三者的聯絡?導數平均變化率,瞬時變化率三,咋有聯絡他們有一個公式建...
函式fx在區間上的定積分在幾何上表示相應的曲邊
這句話不全面，應該表述成函式f x 在區間 a，b 上的定積分的幾何意義是被積函式的函式曲線與座標軸圍成的面積的代數和，因此其面積的代數和即定積分可正可負，x軸之上部分為正，x軸之下部分為負。定積分的幾何意義是表示曲邊梯形面積值的代數和還是表示面積？表示面積值的代數和，全面的來講，當f x 0時，表...