1樓：匿名使用者
qr分解即是將矩陣分解為正交陣和上三角陣的乘積，嚴格
表述如下：
設a為一個n級實矩陣，且|a|≠0，則a=qt。其中q為正交陣，t為上三角陣，且分解唯一。
證明如下：
（1）設a=(aij)，它的n個列向量為α1，...，αn。
由於|a|≠0，所以α1，...，αn線性無關，從而是r^n的一組基。
利用施密特正交化過程，由α1，...，αn可得正交基和標準正交基η1，,,,，ηn：
β1=α1，η1=β1/|β1|；
β2=α2-(α2,η1)η1，η2=β2/|β2|；
......
βn=αn-(αn,η1)η1-...-(αn,η(n-1))η(n-1)，ηn=βn/|βn|。
再將βi=|βi|ηi (i=1,2,...,n)帶入等式左邊，移項整理得
α1=t11η1，
α2=t12η1+t22η2，
......
αn=t1nη1+t2nη2+...+tnnηn。
其中tii=|βi|>0,(i=1,2,...,n)，tij=(αj,ηi),(i≠j)，
即a=(α1,...,αn)=(η1,...,ηn)(t11 t12 ...
t1n;0 t22 t23 ... t2n;...;0 0 0...
tnn)=qt。
（2）下證唯一性：
若還有q1、t1，也使得a=q1t1=qt，其中q、q1正交，t、t1為主對角元》0的上三角矩陣。
由q1t1=qt得q1^(-1)q=t1t^(-1)
由於q1^(-1)q是正交陣，從而t1t^(-1)也是正交陣，且為上三角陣。
故t1t^(-1)主對角元為±1（由t1、t主對角元為正，故t1t^(-1)主對角元只能為1）且為對角陣。即t1t^(-1)=e，即t1=t。再由t非退化，從而q1=q，即分解唯一，證畢。
矩陣分解的qr分解法
2樓：加菲36日
qr分解法是將矩陣分解成一個正規正交矩陣與上三角形矩陣,所以稱為qr分解法,與此正規正交矩陣的通用符號q有關。
matlab以qr函式來執行qr分解法， 其語法為[q,r]=qr(a)。
一個矩陣可qr分解的充要條件？如何進行qr分解？
3樓：夢想隊員
任何一個矩陣都可以進行qr分解。有兩種方式：施密特正交化；householder矩陣法
4樓：匿名使用者
列相互獨立的矩陣可以qr分解，常用方法是施密特正交化，首先選取第一列，使其單位化，計為x1；再選取第二列，減去其在x1上的投影，再單位化，計為x2；再選取第三列，減去其在x1和x2上的投影，再單位化，計為x3……即求得正交矩陣q。這樣a的第n列an向量就可以寫為(q1•an)q1+(q2•an)q2+……+(qn•an)qn,所以r的第n列是（q1•an,q2•an……qn•an,0,0………）
關於矩陣的qr分解，我不明白下圖中的r是怎麼來的
5樓：匿名使用者
a=qr,
r=q^a=q^t a.(因為q是正交矩陣)
r11=q11*a11+q21*a12=a1^t q1, 以此類推
矩陣論中，qr分解有一步是對矩陣b按列單位化，求矩陣q，實數矩陣好理
6樓：劉茂非律師
優質解答
為了求解線性方程組,我們通常需要一定的解法.其中一種解法就是通過矩陣的三角分解來實現的,屬於求解線性方程組的直接法.在不考慮舍入誤差下,直接法可以用有限的運算得到精確解,因此主要適用於求解中小型稠密的線性方程組.
(1) 三角分解法
三角分解法是將原正方 (square) 矩陣分解成一個上三角形矩陣 或是排列(permuted) 的上三角形矩陣和一個 下三角形矩陣,這樣的分解法又稱為lu分解法.它的用途主要在簡化一個大矩陣的行列式值的計算過程,求 反矩陣,和求解聯立方程組.不過要注意這種分解法所得到的上下三角形矩陣並非唯一,還可找到數個不同 的一對上下三角形矩陣,此兩三角形矩陣相乘也會得到原矩陣.
matlab以lu函式來執行lu分解法,其語法為[l,u]=lu(a).
l是下三角矩陣：lower.u是上三角矩陣：upper
(2) qr分解法
qr分解法是將矩陣分解成一個正規正交矩陣與上三角形矩陣,所以稱為qr分解法,與此正規正交矩陣的通用符號q有關.
matlab以qr函式來執行qr分解法,其語法為[q,r]=qr(a).
q是正交矩陣,r是n*n的上三角矩陣.
矩陣什麼時候可以進行qr分解？什麼時候不能？
7樓：匿名使用者
將矩陣a進行qr分解，q為單位正交矩陣，r是上三角矩陣，分解後a＝qr。若滿足r的主對角元素為正數，那麼qr分解才是唯一的。在mma做試驗有意外收穫:
schur命令太厲害了，也是分解為( 正交陣＋上三角陣 )，後者對角線就是特徵值，不需要反覆迭代了。當然用求特徵值命令更方便了。
8樓：前回國好
假定a是mxn的矩陣且列滿秩,即rank(a)=n,那麼a=qr在要求r的對角元為正實數的情況下是唯一的.
如果不要求r的對角元為正實數,那麼可以有其它的qr分解a=(qd)(dr),其中d是任何對角酉陣,可以證明只有這些qr分解.
如果不是列滿秩的話就沒有上述唯一性了,除非對r的階梯結構有額外要求.注意a的qr分解相當於對a的前k列張成的空間找正交基,從這裡很容易理解什麼時候會有唯一性.
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