1樓：
你好，請採納！
要計算∫<0，+∞>e^(-x^2)dx 可以通過計算二重積分:∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy.那個d表示是由中心在原點,半徑為a的圓周所圍成的閉區域.
下面計算這個二重積分:解:在極座標系中,閉區域d可表示為:
0≤r≤a,0≤θ≤2π∴∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy=∫∫e^(-r^2)*rdrdθ=∫<0,2π>[∫<0,a>e^(-r^2)*rdr]dθ=-(1/2)e^(-a^2)∫<0,2π>dθ=π(1-e^(-a^2))下面計算∫<0，+∞>e^(-x^2)dx ;設d1=.d2=.s=.
可以畫出d1,d2,s的圖.顯然d1包含於s包含於d2.由於e^(-x^2-y^2)>0,從而在這些閉區域上的二重積分之間有不等式:
∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy<∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy<∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy.∵∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy=∫<0,r>e^(-x^2)dx*=∫<0,r>e^(-y^2)dy=(∫<0,r>e^(-x^2)dx)^2.又應用上面得到的結果:
∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy=π(1-e^(-a^2))∴∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy=(π/4)(1-e^(-r^2)).∴∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy=(π/4)(1-e^(-2r^2)).於是上面的不等式可寫成:
(π/4)(1-e^(-r^2))<(∫<0,r>e^(-x^2)dx)^2<(π/4)(1-e^(-2r^2)).令r→+∞,上式兩端趨於同一極限π/4,從而∫<0，+∞>e^(-x^2)dx =sqrt(π)/2.其中:
sqrt(π)表示根號π.
2樓：匿名使用者
這個積分是用二重積分求出的，結果等於√π/2。
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