1樓：動感超人
行範數行元素絕對值和最大的那個列範數列元素絕對值和最大的那個f範數這個忘記了，可以看一下數值分析課本二範數矩陣所有元素平方和開根號，還有函式和向量的範數要搞明白，自己看數值分析
矩陣的f-範數 的作用？
2樓：demon陌
作用：f範數是把一個矩陣中每個元素的平方求和後開根號。
應用中常將有限維賦範向量空間之間的對映以矩陣的形式表現，這時對映空間上裝備的範數也可以通過矩陣範數的形式表達。
矩陣範數除了正定性，齊次性和三角不等式之外，還規定其必須滿足相容性：║xy║≤║x║║y║。所以矩陣範數通常也稱為相容範數。
如果║·║α是相容範數，且任何滿足║·║β≤║·║α的範數║·║β都不是相容範數，那麼║·║α稱為極小範數。對於n階實方陣(或複方陣)全體上的任何一個範數║·║，總存在唯一的實數k>0，使得k║·║是極小範數。
3樓：我真不是玉兔
有些矩陣範數不可以由向量範數來誘導，比如常用的frobenius範數(也叫euclid範數，簡稱f-範數或者
e-範數)：║a║f= ( ∑∑ aij^2 )^1/2
(a全部元素平方和的平方根)。容易驗證f-範數是相容的，但當min>1時f-範數不能由向量範數誘導
(||e11+e22||f=2>1)。可以證明任一種矩陣範數總有與之相容的向量範數。例如定義 ║x║=║x║，其中x=[x,x,…,x]是
由x作為列的矩陣。由於向量的f-範數就是2-範數，所以f-範數和向量的2-範數相容。
另外還有以下結論： ║ab║f <= ║a║f ║b║2 以及 ║ab║f <= ║a║2 ║b║f
這個要具體情況具體分析
4樓：匿名使用者
同求作用啊 誰給講講啊
f範數是把一個矩陣中每個元素的平方求和後開根號，具體作用也不清楚啊
矩陣範數的非誘導範數
5樓：手機使用者
有些矩陣範數不可以由向量範數來誘導，比如常用的frobenius範數(也叫euclid範數，簡稱f-範數或者e-範數)：║a║f= ( ∑∑ aij^2 )^1/2 (a全部元素平方和的平方根)。容易驗證f-範數是相容的，但當min>1時f-範數不能由向量範數誘導(||e11+e22||f=2>1)。
可以證明任一種矩陣範數總有與之相容的向量範數。例如定義 ║x║=║x║，其中x=[x,x,…,x]是由x作為列的矩陣。由於向量的f-範數就是2-範數，所以f-範數和向量的2-範數相容。
另外還有以下結論： ║ab║f <= ║a║f ║b║2 以及 ║ab║f <= ║a║2 ║b║f
1、矩陣的譜半徑和範數的關係
定義：a是n階方陣，λi是其特徵值，i=1,2,…,n。則稱特徵值的絕對值的最大值為a的譜半徑，記為ρ(a)。
注意要將譜半徑與譜範數(2-範數)區別開來，譜範數是指a的最大奇異值，即a^h*a最大特徵值的算術平方根。譜半徑是矩陣的函式，但不是矩陣範數。
2、譜半徑和範數的關係是以下幾個結論：
定理1：譜半徑不大於矩陣範數，即ρ(a)≤║a║。
因為任一特徵對λ,x,ax=λx，可得ax=λx。兩邊取範數並利用相容性即得結果。
定理2：對於任何方陣a以及任意正數e，存在一種矩陣範數使得║a║<ρ(a)+e。
定理3(gelfand定理)：ρ(a)=lim_ ║a^k║^。
利用上述性質可以推出以下兩個常用的推論：
推論1：矩陣序列 i,a,a^2,…a^k,… 收斂於零的充要條件是ρ(a)<1。
推論2：級數 i+a+a^2+... 收斂到(i-a)^的充要條件是ρ(a)<1。
什麼是範數？向量的範數公式是什麼？
6樓：匿名使用者
向量範數
定義1. 設 ,滿足
1. 正定性:║x║≥0,║x║=0 iff x=0
2. 齊次性:║cx║=│c│║x║,
3. 三角不等式:║x+y║≤║x║+║y║
則稱**中定義了向量範數,║x║為向量x的範數.
可見向量範數是向量的一種具有特殊性質的實值函式.
常用向量範數有,令x=( x1,x2,…,xn)t
1-範數:║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│
2-範數:║x║2=(│x1│2+│x2│2+…+│xn│2)^1/2
∞-範數:║x║∞=max(│x1│,│x2│,…,│xn│)
易得 ║x║∞≤║x║2≤║x║1≤n1/2║x║2≤n║x║∞
定理1.**中任意兩種向量範數║x║α,║x║β是等價的,即有m,m>0使
m║x║α≤║x║β≤m║x║
可根據範數的連續性來證明它.由定理1可得
定理2.設是**中向量序列,x是**中向量,則
║x(k)-x║→0(k→∞) iff xj(k)-xj→0,j=1,2,…,n(k→
∞)其中xj(k)是x(k)的第j個分量,xj是x的第j個分量.此時稱收斂於x,記作x(k)
→x(k→∞),或 .
三、 矩陣範數
定義2. 設 ,滿足
1. 正定性:║x║≥0,║x║=0 iff x=0
2. 齊次性:║cx║=│c│║x║,
3. 三角不等式:║x+y║≤║x║+║y║
4. 相容性: ║xy║≤║x║║y║
則稱**×n中定義了矩陣範數,║x║為矩陣x的範數.
注意, 矩陣x可視為n2維向量,故有前三條性質.因此定理1,2中向量的等價性和向量
序列收斂的概念與性質等也適合於矩陣.第四條,是考慮到矩陣乘法關係而設.更有矩
陣向量乘使我們定義矩陣範數向量範數的相容性:
║ax║≤║a║║x║
所謂由向量範數誘匯出的矩陣範數與該向量範數就是相容的.
定理3. 設a是n×n矩陣,║?║是n維向量範數則
║a║=max= max
是一種矩陣範數,稱為由該向量範數誘匯出的矩陣範數或運算元範數,它們具有相容性
或者說是相容的.
單位矩陣的運算元範數為1
可以證明任一種矩陣範數總有與之相容的向量範數.例如定義:
║x║=║x║,x=(xx…x)
常用的三種向量範數誘匯出的矩陣範數是
1-範數:║a║1= max=
2-範數:║a║2=max= ,λ1是aha的
最大特徵值.
∞-範數:║a║∞=max=
此外還有frobenius範數: .它與向量2-範數相容.但非向量範數誘匯出的矩陣範數.
四、 矩陣譜半徑
定義3.設a是n×n矩陣,λi是其特徵值,i=1,2,…,n.稱
為a的譜半徑.
譜半徑是矩陣的函式,但非矩陣範數.對任一矩陣範數有如下關係:
ρ(a)≤║a║
因為任一特徵對λ,x,ax=λx,令x=(xx…x),可得ax=λx.兩邊取範數,由矩陣範數的
相容性和齊次性就匯出結果.
定理3.矩陣序列i,a,a2,…ak,…收斂於零的充分必要條件是ρ(a)
矩陣的2範數和f範數之間的區別
7樓：du知道君
1-範數：是指向量（矩陣）裡面非零元素的個數。類似於求棋盤上兩個點間的沿方格邊緣的距離。
||x||1 = sum（abs(xi)）；
2-範數（或euclid範數）：是指空間上兩個向量矩陣的直線距離。類似於求棋盤上兩點見的直線距離 （無需只沿方格邊緣）。
||x||2 = sqrt(sum(xi.^2))；
∞－範數(或最大值範數)：顧名思義，求出向量矩陣中其中模最大的向量。
||x||∞ = max(abs(xi))；
ps.由於不能敲公式，所以就以偽**的形式表明三種範數的演算法，另外加以文字說明，希望樓主滿意。相互學習，共同進步~
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