1樓：匿名使用者
應該可以吧。微分形式不變性嘛。對某一個函式而言，其導函式如果存在，那就是唯一的。
什麼是泰勒公式的唯一性？ 如圖 題目解答的第二步看不懂 求詳細解答過程
2樓：墨汁諾
一、若x趨於x0時有極限limf(x)=a，則此極限過程中f(x)可表示為f(x)=a+o(1)，其中o(1)表示無窮小，這是函式極限與無窮小的關係，可以用定義證明，證明過程教材上都有。本題中前面已求出x趨於0時limf(x)/x^n=4，故利用此關係就有f(x)/x^n=4+o(1)，得到f(x)=4x^n+o(x^n)。
而f(x)在x=0處的n階泰勒公式為f(x)=f(0)+f'(0)+f''(0)/2!+...+f'(n)(0)/n!
+o(x^n)，正是由於泰勒公式的唯一性，前面得出的f(x)=4x^n+o(x^n)就是f(x)在x=0處的泰勒公式，將兩式中次數相同的項進行比較，就可以得出前n-1階導數都等於0，且f'(n)/n!=4。
二、可這樣理解：
設 f(x) = ∫<0, arcsinx> [1-cos(t^2)]dt/t
則 f'(x) = [1/√(1-x^2)] / arcsinx
~ (1/2)(arcsinx)^4 / arcsinx ~ (1/2)x^3， 是 x 的 3 階無窮小，
f(x) 是 x 的 4 階無窮小。
泰勒公式的唯一性怎麼應用
3樓：匿名使用者
泰勒公式[編輯]
泰勒公式的初衷是用多項式來近似表示函式在某點周圍的情況。比如說，指數函式ex在x= 0 的附近可以用以下多項式來近似地表示：
稱為指數函式在0處的n階泰勒公式。這個公式只對0附近的x有用，x離0越遠，這個公式就越不準確。實際函式值和多項式的偏差稱為泰勒公式的餘項。
對於一般的函式，泰勒公式的係數的選擇依賴於函式在一點的各階導數值。這個想法的原由可以由微分的定義開始。微分是函式在一點附近的最佳線性近似：，其中是h的高階無窮小。
也就是說，或。
注意到和在a處的零階導數和一階導數都相同。對足夠光滑的函式，如果一個多項式在a處的前n次導數值都與函式在a處的前n次導數值重合，那麼這個多項式應該能很好地近似描述函式在a附近的情況。以下定理說明這是正確的：
定理：設n是一個正整數。如果函式f是區間[a, b] 上的n階連續可微函式，並且在區間[a, b) 上n+1 次可導，那麼對於[a, b) 上的任意x，都有：[2]
其中的多項式稱為函式在a處的泰勒式，剩餘的是泰勒公式的餘項，是的高階無窮小。的表達形式有若干種，分別以不同的數學家命名。
帶有皮亞諾型餘項的泰勒公式說明了多項式和函式的接近程度：
也就是說，當x無限趨近a時，餘項將會是的高階無窮小，或者說多項式和函式的誤差將遠小於[3]。這個結論可以由下面更強的結論推出。
帶有拉格朗日型餘項的泰勒公式可以視為拉格朗日微分中值定理的推廣：
即，其中[4]。
帶有積分型餘項的泰勒公式可以看做微積分基本定理的推廣[5]：
餘項估計[編輯]
拉格朗日型餘項或積分型餘項可以幫助估計泰勒式和函式在一定區間之內的誤差。設函式在區間[a r, a+ r]上n次連續可微並且在區間(a r, a+ r)上n+ 1次可導。如果存在正實數mn使得區間(a r, a+ r)裡的任意x都有 ，那麼：
其中。這個上界估計對區間(a r, a+ r)裡的任意x都成立，是一個一致估計。
如果當n趨向於無窮大時，還有，那麼可以推出 ，f是區間(a r, a+ r)上解析函式。f在區間(a r, a+ r)上任一點的值都等於在這一點的泰勒式的極限。
多元泰勒公式[編輯]
對於多元函式，也有類似的泰勒公式。設b(a, r) 是歐幾里得空間rn中的開 球， 是定義在b(a, r) 的閉包上的實值函式，並在每一點都存在所有的n+1 次偏導數。這時的泰勒公式為：
對所有，
其中的 α 是多重指標。
其中的餘項也滿足不等式：
對所有滿足 |α| = n+ 1的
4樓：笑書神俠客
求高階導數會用到！抽象，具體，兩相比較可求出對應高階導數！
什麼叫泰勒公式的唯一性定理
5樓：風殘月吖
1.x=x0時討論taylor，意義是不大的。
上述證明中x是一個變數，taylor公式是一個函式，而不是一個定數，所以第一個問題不是「一個真正的問題」。
如果非要問f(x)在x0處的taylor式，那就是f(x0)嘛，當然是唯一的
2.第二問也「問得有問題」
關鍵在於你對符號o（）的理解，小o意指高階無窮小量，它不是一個具體的數，也不是一個具體函式，而是代指一系列的函式（只要是高階無窮小），所以o[(x-x0)^n]不等於o[(x-x0)^n],它是動態的，對於它只能做極限運算，常規的移項、消去、合併、加減、比較對o[(x-x0)^n]都沒有意義。
3.lagrange餘項是peano餘項的細化，對peano型taylor公式
得到的唯一性定理當然適用於lagrange
一個函式的泰勒公式是不是可以有無數個？ 但這裡又說只有唯一一個怎麼理解（圖1中的注後面說唯一）
6樓：一知二
只有唯一一個
但它可以擷取到任意次方，無論是x的4次方還是x的6次方都是唯一的那個泰勒多項式的一部分
泰勒多項式的主要作用是用一個多項式來近似一個複雜的函式
泰勒公式怎麼理解啊，看書看不懂！！！
7樓：匿名使用者
那個課本，其實泰勒公式並不是無限精確
地（這和導數不同，導數是無限精確的），雖然他也是在極其小的範圍內研究函式值的量，可是有一個r（n）也就是餘項，它雖說在x變化量趨近於0是無窮小，但是無窮多個的累加使其不精確了。他是有麥克勞林公式推得的，還用了柯西中值定理，那個附近的意思也就是無限逼近但差一個無窮小量。這個雖然在定量上無法完全精確，但是給了人們定性分析討論的方向，正如你所說，1既是0的旁邊，也是2的旁邊，這涉及到取值範圍的問題了o(∩_∩)o~。
8樓：匿名使用者
泰勒公式啊。。其實你只要掌握 麥克老林公式 泰勒公式就可以不用記了
邁克勞林 出現的機率比較大 一般 題裡面出現2次導以上的 都可以優先考慮邁克勞林公式 泰勒公式是高數中較難理解的公式，我們要注意其是用高次多項式來近似表達函式。
在泰勒中值定理中有一個項是為其近似而存在的，f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!
9樓：匿名使用者
泰勒公式是高數中較難理解的公式，我們要注意其是用高次多項式來近似表達函式。
在泰勒中值定理中有一個項是為其近似而存在的，f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!
怎樣理解泰勒公式中的餘項？
10樓：喵喵喵
餘項就是展開式與原函式的誤差，餘項越少，誤差就越小。在一定允許的範圍內，餘項可以忽略不計，即所謂的無窮小。
泰勒公式是一個用函式在某點的資訊描述其附近取值的公式。如果函式足夠光滑的話，在已知函式在某一點的各階導數值的情況之下，泰勒公式可以用這些導數值做係數構建一個多項式來近似函式在這一點的鄰域中的值。泰勒公式還給出了這個多項式和實際的函式值之間的偏差。
泰勒公式有好幾種餘項：皮亞諾、拉格朗日、柯西、積分餘項等。
1、佩亞諾（peano）餘項：
這裡只需要n階導數存在。
2、施勒米爾希-羅什（schlomilch-roche）餘項：
其中θ∈（0,1），p為任意正整數。（注意到p=n+1與p=1分別對應拉格朗日餘項與柯西餘項）
3、拉格朗日（lagrange）餘項：
其中θ∈（0,1）。
4、柯西（cauchy）餘項：
其中θ∈（0,1）。
5、積分餘項：
擴充套件資料
泰勒式的重要性體現在以下五個方面：
1、冪級數的求導和積分可以逐項進行，因此求和函式相對比較容易。
2、一個解析函式可被延伸為一個定義在複平面上的一個開片上的解析函式，並使得複分析這種手法可行。
3、泰勒級數可以用來近似計算函式的值，並估計誤差。
4、證明不等式。
5、求待定式的極限。
11樓：是你找到了我
1、佩亞諾（peano）餘項：
這裡只需要n階導數存在。
2、施勒米爾希-羅什（schlomilch-roche）餘項：
其中θ∈（0,1），p為任意正整數。（注意到p=n+1與p=1分別對應拉格朗日餘項與柯西餘項）。
3、拉格朗日（lagrange）餘項：
其中θ∈（0,1）。
4、柯西（cauchy）餘項：
其中θ∈（0,1）。
5、積分餘項：
其中以上諸多餘項事實上很多是等價的。
擴充套件資料：常用的公式：
函式的麥克勞林指上面泰勒公式中x0取0的情況，即是泰勒公式的特殊形式，若f（x）在x=0處n階連續可導，則下式成立：
其中表示f（x）的n階導數。
當其中δ在0與x之間時，公式稱為拉格朗日型餘項的n階麥克勞林公式。
當且n階導數存在時，公式稱為帶佩亞諾型的n階麥克勞林公式。
12樓：匿名使用者
你好，泰勒公式就是把一個函式用多項冪函式代替，以便研究，項數越多，就越與原函式相近。所以餘項就是式與原函式的誤差，餘項越少，誤差就越小。在一定允許的範圍內，餘項可以忽略不計，即所謂的無窮小。
高數泰勒公式怎麼理解
13樓：匿名使用者
泰勒公式的核心思想就是 一個可導的連續函式，如果想要用多項式去逼近，怎麼去找逼近的多項式。泰勒公式就告訴你，只要你的函式足夠好（意思是可導多少次），這個多項式就是泰勒公式裡那個。如果你函式無窮次可導，那麼泰勒公式裡的多項式取的項數越多，那麼多項式與原函式之間的誤差就越小。。
所以泰勒公式可以看成是用多項式逼近可導連續函式的工具
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