1樓：匿名使用者
線性插值也叫兩點插值，已知函式y = f (x)在給定互異點x0, x1上的值為y0= f (x0)，y1=f (x1)線性插值就是構造一個一次多項式：p1(x) = ax + b，使它滿足條件：p1 (x0) = y0， p1 (x1) = y1
其幾何解釋就是一條直線，通過已知點a (x0, y0)，b(x1, y1)
2樓：山東高
通過拉格朗日基函式lk(x)，分子沒有(x-xk)，分母為(xk-xi)相乘，i不等於k
拉格朗日插值公式？
3樓：匿名使用者
一．線性插值(一次插值）
已知函式f(x)在區間[xk ,xk+1 ]的端點上的函式值yk =f(xk ), yk+1 = f(xk+1 ),求一個一次函式y=p1 (x)使得yk =f(xk ),yk+1 =f(xk+1 ), 其幾何意義是已知平面上兩點(xk ,yk ),(xk+1 ,yk+1 ),求一條直線過該已知兩點。
1. 插值函式和插值基函式
由直線的點斜式公式可知：
把此式按照 yk 和yk+1 寫成兩項:
記並稱它們為一次插值基函式。該基函式的特點如下表：
從而p1 (x) = yk lk (x) + yk+1 lk+1 (x)
此形式稱之為拉格朗日型插值多項式。其中, 插值基函式與yk 、yk+1 無關，而由插值結點xk 、xk+1 所決定。一次插值多項式是插值基函式的線性組合, 相應的組合係數是該點的函式值yk 、yk+1 .
例1: 已知lg10=1,lg20=1.3010, 利用插值一次多項式求lg12的近似值。
解: f(x)=lgx,f(10)=1,f(20)=1.3010, 設
x0 =10 ,x1 =20 ,y0 =1 ,y1 =1.3010
則插值基函式為：
於是, 拉格朗日型一次插值多項式為:
故 :即lg12 由lg10 和lg20 兩個值的線性插值得到,且具有兩位有效數字(精確值lg12=1.0792).
二．二次插值多項式
已知函式y=f(x)在點xk-1 ,xk ,xk+1 上的函式值yk-1 =f(xk-1 ),yk =f(xk ), yk+1 =f(xk+1 ), 求一個次數不超過二次的多項式p2 (x), 使其滿足,
p2 (xk-1 )=yk-1 , p2 (xk )=yk , p2 (xk+1 )=yk+1 .
其幾何意義為:已知平面上的三個點
(xk-1 ,yk-1 ),(xk ,yk ),(xk+1 ,yk+1 ),
求一個二次拋物線, 使得該拋物線經過這三點。
1.插值基本多項式
有三個插值結點xk-1 ,xk ,xk+1 構造三個插值基本多項式，要求滿足：
(1) 基本多項式為二次多項式； (2) 它們的函式值滿足下表：
因為lk-1 (xk )= 0,lk-1 (xk+1 )=0, 故有因子(x-xk )(x-xk+1 ), 而其已經是一個二次多項式, 僅相差一個常數倍, 可設
lk-1 (x)=a(x-xk )(x-xk+1 ),
又因為lk-1 (xk-1 )=1 ==> a(xk-1 -xk )(xk-1 -xk+1 )=1
得 從而
同理得基本二次多項式見右上圖(點選按鈕「顯示li」)。
2. 拉格朗日型二次插值多項式
由前述, 拉格朗日型二次插值多項式:
p2 (x)=yk-1 lk-1 (x)+yk lk (x)+yk+1 lk+1 (x),p2 (x)
是三個二次插值多項式的線性組合,因而其是次數不超過二次的多項式,且滿足:
p2 (xi )=yi , (i=k-1,k,k+1) 。
例2 已知：
xi 10 15 20
yi=lgxi 1 1.1761 1.3010
利用此三值的二次插值多項式求lg12的近似值。
解：設x0 =10,x1 =15,x2 =20,則:
故:所以
7利用三個點進行拋物插值得到lg12的值,與精確值lg12=1.0792相比,具有3位有效數字,精度提高了。
三、拉格朗日型n次插值多項式
已知函式y=f(x)在n+1個不同的點x0 ,x1 ,…,x2 上的函式值分別為
y0 ,y1 ,…,yn ,求一個次數不超過n的多項式pn (x),使其滿足:
pn (xi )=yi , (i=0,1,…,n),
即n+1個不同的點可以唯一決定一個n次多項式。
1. 插值基函式
過n+1個不同的點分別決定n+1個n次插值基函式
l0 (x),l1 (x),…,ln (x)
每個插值基本多項式li (x)滿足：
(1) li (x)是n次多項式;
(2) li (xi )=1,而在其它n個li (xk )=0 ,(k≠i)。
由於li (xk )=0 ,(k≠i), 故有因子:
(x-x0 )…(x-xi-1 )(x-xi+1 )…(x-xn )
因其已經是n次多項式，故而僅相差一個常數因子。令:
li (x)=a(x-x0 )…(x-xi-1 )(x-xi+1 )…(x-xn )
由li (xi )=1,可以定出a, 進而得到：
2. n次拉格朗日型插值多項式pn (x)
pn (x)是n+1個n次插值基本多項式l0 (x),l1 (x),…,ln (x)的線性組合,相應的組合係數是y0 ,y1 ,…,yn 。即:
pn (x)=y0 l0 (x)+y1 l1 (x)+…+yn ln (x) ,
從而pn (x)是一個次數不超過n的多項式,且滿足
pn (xi )=yi , (i=0,1,2,…,n).
例3 求過點(2,0),(4,3),(6,5),(8,4),(10,1)的拉格朗日型插值多項式。
解 用4次插值多項式對5個點插值。
所以四、拉格朗日插值多項式的截斷誤差
我們在[a,b]上用多項式pn (x) 來近似代替函式f(x), 其截斷誤差記作
rn (x)=f(x)-pn (x)
當x在插值結點xi 上時rn (xi )=f(xi )-p n(xi )=0,下面來估計截斷誤差：
定理1：設函式y=f(x)的n階導數y(n) =f(n) (x)在[a,b]上連續，
y(n+1) = f(n+1) (x)
在(a,b)上存在；插值結點為:
4樓：匿名使用者
建議你看看這上面的證明過程: http://hi.
拉格朗日插值公式的幾個問題
5樓：匿名使用者
一．線性插值(一次插值）
已知函式f(x)在區間[xk ,xk+1 ]的端點上的函式值yk =f(xk ), yk+1 = f(xk+1 ),求一個一次函式y=p1 (x)使得yk =f(xk ),yk+1 =f(xk+1 ), 其幾何意義是已知平面上兩點(xk ,yk ),(xk+1 ,yk+1 ),求一條直線過該已知兩點。
1. 插值函式和插值基函式
由直線的點斜式公式可知：
把此式按照 yk 和yk+1 寫成兩項:
記並稱它們為一次插值基函式。該基函式的特點如下表：
從而p1 (x) = yk lk (x) + yk+1 lk+1 (x)
此形式稱之為拉格朗日型插值多項式。其中, 插值基函式與yk 、yk+1 無關，而由插值結點xk 、xk+1 所決定。一次插值多項式是插值基函式的線性組合, 相應的組合係數是該點的函式值yk 、yk+1 .
例1: 已知lg10=1,lg20=1.3010, 利用插值一次多項式求lg12的近似值。
解: f(x)=lgx,f(10)=1,f(20)=1.3010, 設
x0 =10 ,x1 =20 ,y0 =1 ,y1 =1.3010
則插值基函式為：
於是, 拉格朗日型一次插值多項式為:
故 :即lg12 由lg10 和lg20 兩個值的線性插值得到,且具有兩位有效數字(精確值lg12=1.0792).
二．二次插值多項式
已知函式y=f(x)在點xk-1 ,xk ,xk+1 上的函式值yk-1 =f(xk-1 ),yk =f(xk ), yk+1 =f(xk+1 ), 求一個次數不超過二次的多項式p2 (x), 使其滿足,
p2 (xk-1 )=yk-1 , p2 (xk )=yk , p2 (xk+1 )=yk+1 .
其幾何意義為:已知平面上的三個點
(xk-1 ,yk-1 ),(xk ,yk ),(xk+1 ,yk+1 ),
求一個二次拋物線, 使得該拋物線經過這三點。
1.插值基本多項式
有三個插值結點xk-1 ,xk ,xk+1 構造三個插值基本多項式，要求滿足：
(1) 基本多項式為二次多項式； (2) 它們的函式值滿足下表：
因為lk-1 (xk )= 0,lk-1 (xk+1 )=0, 故有因子(x-xk )(x-xk+1 ), 而其已經是一個二次多項式, 僅相差一個常數倍, 可設
lk-1 (x)=a(x-xk )(x-xk+1 ),
又因為lk-1 (xk-1 )=1 ==> a(xk-1 -xk )(xk-1 -xk+1 )=1
得 從而
同理得基本二次多項式見右上圖(點選按鈕「顯示li」)。
2. 拉格朗日型二次插值多項式
由前述, 拉格朗日型二次插值多項式:
p2 (x)=yk-1 lk-1 (x)+yk lk (x)+yk+1 lk+1 (x),p2 (x)
是三個二次插值多項式的線性組合,因而其是次數不超過二次的多項式,且滿足:
p2 (xi )=yi , (i=k-1,k,k+1) 。
例2 已知：
xi 10 15 20
yi=lgxi 1 1.1761 1.3010
利用此三值的二次插值多項式求lg12的近似值。
解：設x0 =10,x1 =15,x2 =20,則:
故:所以
7利用三個點進行拋物插值得到lg12的值,與精確值lg12=1.0792相比,具有3位有效數字,精度提高了。
三、拉格朗日型n次插值多項式
已知函式y=f(x)在n+1個不同的點x0 ,x1 ,…,x2 上的函式值分別為
y0 ,y1 ,…,yn ,求一個次數不超過n的多項式pn (x),使其滿足:
pn (xi )=yi , (i=0,1,…,n),
即n+1個不同的點可以唯一決定一個n次多項式。
1. 插值基函式
過n+1個不同的點分別決定n+1個n次插值基函式
l0 (x),l1 (x),…,ln (x)
每個插值基本多項式li (x)滿足：
(1) li (x)是n次多項式;
(2) li (xi )=1,而在其它n個li (xk )=0 ,(k≠i)。
由於li (xk )=0 ,(k≠i), 故有因子:
(x-x0 )…(x-xi-1 )(x-xi+1 )…(x-xn )
因其已經是n次多項式，故而僅相差一個常數因子。令:
li (x)=a(x-x0 )…(x-xi-1 )(x-xi+1 )…(x-xn )
由li (xi )=1,可以定出a, 進而得到：
2. n次拉格朗日型插值多項式pn (x)
pn (x)是n+1個n次插值基本多項式l0 (x),l1 (x),…,ln (x)的線性組合,相應的組合係數是y0 ,y1 ,…,yn 。即:
pn (x)=y0 l0 (x)+y1 l1 (x)+…+yn ln (x) ,
從而pn (x)是一個次數不超過n的多項式,且滿足
pn (xi )=yi , (i=0,1,2,…,n).
例3 求過點(2,0),(4,3),(6,5),(8,4),(10,1)的拉格朗日型插值多項式。
解 用4次插值多項式對5個點插值。
所以四、拉格朗日插值多項式的截斷誤差
我們在[a,b]上用多項式pn (x) 來近似代替函式f(x), 其截斷誤差記作
rn (x)=f(x)-pn (x)
當x在插值結點xi 上時rn (xi )=f(xi )-p n(xi )=0,下面來估計截斷誤差：
定理1：設函式y=f(x)的n階導數y(n) =f(n) (x)在[a,b]上連續，
y(n+1) = f(n+1) (x)
在(a,b)上存在；插值結點為:
a≤x0 pn (x)是n次拉格朗日插值多項式；則對任意x∈[a,b]有： 其中ξ∈(a,b), ξ依賴於x：ωn+1 (x)=(x-x0 )(x-x1 )…(x-xn ) 證明：由插值多項式的要求： rn(xi )=f(xi )-pn (xi )=0，(i=0,1,2,…,n); 設rn (x)=k(x)(x-x0 )(x-x1 )…(x-xn )=k(x)ωn+1 (x) 其中k(x)是待定係數；固定x∈[a,b]且x≠xk ，k=0,1,2,…,n;作函式 h(t)=f(t)-pn (t)-k(x)(t-x0 )(t-x1 )…(t-xn ) 則 h(xk )=0，(k=0,1,2,…,n), 且h(x)=f(x)-pn (x)-rn(x)=0, 所以， h(t)在[a,b]上有n+2個零點，反覆使用羅爾中值定理:存在ξ∈(a,b), 使; 因pn (x)是n次多項式，故p(n+1) (ξ)=0, 而 ωn+1 (t)=(t-x0 )(t-x1 )…(t-xn ) 是首項係數為1的n+1次多項式，故有 於是h(n+1) (ξ)=f(n+1)(ξ)-(n+1)!k(x) 得：所以 設 , 則： 易知，線性插值的截斷誤差為: 二次插值的截斷誤差為: 下面來分析前面兩個例子(例1，例2)中計算lg12的截斷誤差： 在例1中，用lg10和lg20計算lg12, p1(12)=1.0602,lg12=1.0792 e=|1.0792-1.0602|=0.0190; 估計誤差：f(x)=lgx, ,當x∈[10,20]時, 在例2中，用lg10,lg15和lg20計算lg12. p2(12)=1.0766, e = |1.0792-1.0766|=0.0026 估計誤差： 函式f x x x e 1 做輔助函式g x f x x 1 易證明此函式在該區間滿足條件 1.g 1 g e f 1 2.g x 在 a,b 連續 3.g x 在 a,b 可導.此即羅爾定理條件,由羅爾定理條件即 g c 0 f c f e f 1 e 1 這是對定理的驗證題，不是證明題，也不是代... 一般來講，需要寫出廣義座標。一定要是完整約束，第一類拉格朗日方程這個就夠了。第二類的話，就是一定要是定常約束，即約束條件不隨時間變化 關於微觀經濟學中的拉格朗日函式 先說用法吧，拉格朗日乘子法是用來求有限制的下最優解的，這裡限制條件就是制約函式，求得就是在滿足g x b時f x 的最值。下面說具體內... 可以考慮x sinx求4階導數,令x趨於0可求出係數 現在用級數的除法 顯然f x x sinx為偶函式,故泰勒公式中只有偶次冪 設f x x sinx a0 a2x 2 a4x 4 o x 5 那麼x a0 a2x 2 a4x 4 o x 5 x x 3 6 x 5 5 o x 6 a0x a2 ...驗證拉格朗日定理對函式y ln x在上的正確性
拉格朗日方程的使用條件是什麼
求sinsinx在x0處帶拉格朗日餘項的泰勒展開式