怎樣簡單的判斷線性相關和線性無關

1樓：匿名使用者

一、定義與例子 :定義 9.1 對向量組，如果存在一組不全為零的數 , 使得那麼, 稱向量組線性相關.

如果這樣的個數不存在, 即上述向量等式僅當時才能成立, 就稱向量組線性無關. 含零向量的向量組一定線性相關 , 因為其中, 不全為零. 只有一個向量組成的向量組線性無關的充分必要條件是 , 線性相關的充分必要條件是 .

考慮齊次線性方程組 (*) 它可以寫成，或 , 其中 . 由此可見, 向量組線性相關的充分必要條件是齊次線性方程組 (*) 有非零解. 也就是說, 向量組線性無關的充分必要條件是齊次線性方程組 (*) 只有零解.

例1 向量組是線性無關的 . 解: 設有使 , 即 , 得齊次線性方程組 .

解此方程組得 , 所以向量組線性無關. 例2 設向量組線性無關, 又設 , 證明向量組也線性無關. 證明:

設有使 , 即 , 因為線性無關, 故有此線性方程組只有零解 , 也即向量組線性無關. 定理 9.1 向量組線性相關的充分必要條件是其中至少有一個向量可以由其餘個向量線性表示 .

證明: 必要性設線性相關, 即存在一組不全為零的數 , 使得 . 不妨設 , 則有 , 即可以由其餘個向量線性表示.

其實, 在向量等式中, 任何一個係數的向量都可以由其餘個向量線性表示 . 充分性設向量組中有一個向量能由其餘個向量線性表示 . 不妨設 , 則 , 因為不全為零, 所以線性相關.

二、向量組線性相關和線性無關判別定理 :設矩陣的列向量組為 , 矩陣的列向量組為 ,其中矩陣是通過對矩陣做行初等變換後得到的.我們有以下定理:

定理 9.2 向量組與向量組有相同的線性相關性. 證明 :

記 .那麼,當且僅當齊次線性方程組有非零解時向量組線性相關.當且僅當齊次線性方程組有非零解時向量組線性相關.

由於齊次線性方程組或者只是對調了的第個方程與第個方程的位置,或者只是用非零數承的第個方程,或者只是把的第個方程的倍加到第個方程上去,這連個方程組一定是同解的,所以,對應的向量組有相同的線性相關性. 定理 9.3 如果向量組線性相關,那麼也線性相關.

證明 :向量組線性相關,即存在不全為零的數使 , 於是 , 但是 , 仍不全為零,因此,向量組線性相關. 推論 9.

4 線性無關向量組的任意一個非空部分組仍是線性無關向量組. 定理 9.5 設有維向量組與維向量組如果向量組線性無關,那麼,向量組也線性無關.

推論 9.6 維向量組的每一個向量新增個分量成為維向量.如果維向量組線性無關,那麼, 維向量組也線性無關.

反言之,如果維向量組線性相關,那麼, 維向量組也線性相關. 定義 9.2 在型的矩陣中,任取行列 ,位於這些行列交叉處的個元素,不改變它們在中所處的位置次序而得的階矩陣行列式,稱為矩陣的階子式.

型矩陣的階子式共有個. 定理 9.7 設維向量組構成矩陣則向量組線性無關的充分必要條件是矩陣中存在一個不等於零的階子式.

推論 9.8 個維向量組線性無關的充分必要條件是它們所構成的階矩陣的行列式不等於零. 推論 9.

9 當時, 個維向量必線性相關. 思考題：1、舉例說明下列各命題是錯誤的 (1) 若向量組線性無關，則可由線性表示; (2) 若有不全為零的數使則線性相關, 也線性相關; (3) 若只有當全為零時, 等式才能成立線性無關, 也線性無關; (4) 若線性相關, 也線性相關, 則有不全為零的數 , 使同時成立.

2、判斷下列向量組是否線性相關 : (1) ; (2) ; (3) ; (4) . 3．設向量組線性無關, 討論向量組的線性相關性 .

4、設向量組線性無關, 線性相關, 則必可由向量組線性表示. 5 、選擇題 (1) 維向量組線性無關的充分必要條件是 a. 存在一組不全為零的數 , 使 ; b.

中任意兩個向量都線性無關 ; c. 中存在一個向量 , 它不能由其他向量線性表示 ; d. 中任意一個向量都不能被其他向量線性表示 .

(2) 已知向量組線性無關, 則向量組 a. 也線性無關; b. 也線性無關; c.

也線性無關; d. 也線性無關. (3) 設有任意兩個維向量組與 .

如果存在兩組不全為零的數與使則 a. 與 . 線性相關; b.

與 . 線性無關; c. 線性無關; d.

線性相關.

如何判斷向量的線性相關和線性無關性

2樓：匿名使用者

1、定義法

令向量組的線性組合為零（零向量），研究係數的取值情況，線性組合為零當且僅當係數皆為零，則該向量組線性無關；若存在不全為零的係數，使得線性組合為零，則該向量組線性相關。

2、向量組的相關性質

（1）當向量組所含向量的個數與向量的維數相等時，該向量組構成的行列式不為零的充分必要條件是該向量組線性無關；

（2）當向量組所含向量的個數多於向量的維數時，該向量組一定線性相關；

（3）通過向量組的正交性研究向量組的相關性；

（4）通過向量組構成的齊次線性方程組解的情況判斷向量組的線性相關性；線性方程組有非零解向量組就線性相關，反之，線性無關。

（5）通過向量組的秩研究向量組的相關性。若向量組的秩等於向量的個數，則該向量組是線性無關的；若向量組的秩小於向量的個數，則該向量組是線性相關的。

3樓：匿名使用者

1. 顯式向量組

將向量按列向量構造矩陣a

對a實施初等行變換, 將a化成梯矩陣

梯矩陣的非零行數即向量組的秩

向量組線性相關 <=> 向量組的秩 < 向量組所含向量的個數2. 隱式向量組

一般是設向量組的一個線性組合等於0

若能推出其組合係數只能全是0, 則向量組線性無關否則線性相關.

滿意請採納^_^.

4樓：芒克族

列出矩陣，對矩陣進行等效變換，最後化簡成上三角矩陣形式，如果有的行全部元素為零，則線性相關，否則線性無關

5樓：匿名使用者

直接按照定義就可以了，或者把他們做成矩陣，如果對應的行列式值為零就說明是線性無關性否則是線性相關

怎樣簡單的判斷線性相關和線性無關

6樓：北大學霸