1樓：匿名使用者
解：本題是三角函式定積分的經典問題，推導過程如下
作變數置換 y = x - π/2，則x = y + π/2，原積分式化為：
[0,π]∫x*(sinx)^n *dx
= [-π/2, π/2]∫(y+π/2)*(sin(y+π/2))^n *dy
= [-π/2, π/2]∫y*(cosy)^n *dy + [-π/2, π/2]∫π/2*(cosy)^n *dy
顯然和式第一項被積函式為奇函式，因此第一項積分結果為0；
和式第二項被積函式為偶函式，因此對稱區間等於2倍的半區間積分，原式化為：
原式= 2* [0, π/2]∫π/2*(cosy)^n *dy
= π* [0, π/2]∫(cosy)^n *dy
再作變換 u =π/2 –y ==> du =-dy，有：
π* [0, π/2]∫(cosy)^n *dy
= π* [π/2,0]∫(cos(π/2 –u)^n *(-du)
=π* [0,π/2]∫(sinu)^n *du
因此：[0,π]∫x*(sinx)^n *dx =π* [0,π/2]∫(sinx)^n *d =π* [0,π/2]∫(cosx)^n *dx
設 f(n) = [0,π/2]∫(sinx)^n *dx，則有：
f(n) = [0,π/2]∫(sinx)^n *dx
= [0,π/2]∫(sinx)^(n-1) *d(-cosx)
= - [0,π/2]|(sinx)^n*(-cosx) + [0,π/2]∫(n-1)(sinx)^(n-2) *cos²x *dx
= 0 + [0,π/2]∫(n-1)(sinx)^(n-2) *(1-sin²x) *dx
= (n-1) * [0,π/2]∫(sinx)^(n-2) - (n-1)* [0,π/2]∫(sinx)^n *dx
= (n-1)*f(n-2) – (n-1)f(n)
解得：f(n) = (n-1)/n *f(n-2)
f(1) = [0,π/2]∫sinx *dx = 1；f(0) = [0,π/2]∫dx =π/2
因此按照遞推公式得到：
當n為偶數時：
f(n) = (n-1)/n * (n-3)/(n-2)*…..*1/2* f(0) = (n-1)/n * (n-3)/(n-2)*…..*1/2*π/2
當 n為奇數時：
f(n) = (n-1)/n * (n-3)/(n-2)*…..*2/3* f(1) = (n-1)/n * (n-3)/(n-2)*…..*2/3* 1
因此：[0,π]∫x*(sinx)^n *dx =
(1) π* (n-1)/n * (n-3)/(n-2)*…..*1/2*π/2 (n為偶數)
(2) π* (n-1)/n * (n-3)/(n-2)*…..*2/3*1 (n為奇數)
2樓：神人無功
有這樣一個公式，可以把常數與微分換位子，俄羅斯微積分教材第一冊上有
高數定積分和不定積分有什麼區別
3樓：是你找到了我
1、定義不同
在微積分中，定積分是積分的一種，是函式f(x)在區間[a,b]上積分和的極限。
在微積分中，一個函式f 的不定積分，也稱作反導數，是一個導數f的原函式 f ，即f′=f。
2、實質不同
若定積分存在，則是一個具體的數值（曲邊梯形的面積）。
不定積分實質是一個函式表示式。
擴充套件資料：
三大積分方法：
1、積分公式法
直接利用積分公式求出不定積分。
2、換元積分法
換元積分法可分為第一類換元法與第二類換元法。第一類換元法（即湊微分法），通過湊微分，最後依託於某個積分公式，進而求得原不定積分。
第二類換元法經常用於消去被積函式中的根式。當被積函式是次數很高的二項式的時候，為了避免繁瑣的式，有時也可以使用第二類換元法求解。常用的換元手段有兩種：根式代換法和三角代換法。
3、分部積分法
設函式和u，v具有連續導數，則d(uv)=udv+vdu；移項得到udv=d(uv)-vdu，兩邊積分，得分部積分公式∫udv=uv-∫vdu。如果積分∫vdu易於求出，則左端積分式隨之得到。
4樓：匿名使用者
定義不同：不定積分的定義是求連續函式的所有原函式。定積分的定義是和式的極限，幾何意義是曲線與直線x=a，x=b，y=0所圍成的曲邊梯形的面積。
微積分基本公式（牛頓-萊布尼茲公式）表明，一個連續函式在區間 [a,b] 上的定積分等於其任意一個原函式在區間 [a,b] 上的增量。此公式將定積分問題轉化為求原函式的問題，是連線不定積分與定積分的橋樑，溝通了微分學與積分學之間的關係。
結果不同：不定積分的結果是原函式族，通常表現為帶有積分常數 c。定積分則是以求不定積分的方法求得原函式，再計算出在積分上下限之間的增量，結果通常是一個數值。
5樓：
定積分確切的說是一個數,或者說是關於積分上下限的二元函式,也可以成為二元運算,可以這樣理解∫[a,b]f(x)dx=a*b,其中*即為積分運算(可以類比簡單的加減運算,只不過這時定義的法則不一樣,加減運算是把二維空間的點對映到一維空間上一個確定的點,定積分也一樣,只不過二者的法則不一樣);
不定積分也可以看成是一種運算,但最後的結果不是一個數,而是一類函式的集合.
對於可積函式(原函式是初等函式)存在一個非常美妙的公式∫[a,b]f(x)dx=f(b)-f(a)其中f'(x)=f(x)或∫f(x)dx=f(x)+c最後附上一句,積分這一章難度較大,要學好這一章首先要把微分運算弄得很清楚,同時常用的公式也要記.而且有些定積分是不能通過牛頓-萊布尼茨公式計算的,如∫[0,∞]sinx/xdx=π/2(用留數算的),∫[0,∞]e^(-x^2)dx=√2/2(用二重積分極座標代換算的),以上兩種積分的原函式都不能用初等函式表示,因此也就不能用牛頓-萊布尼茨公式計算,當你不知道這些的時候可能花一年的功夫也沒有絲毫進展.我當年就是深有感觸的,我是在高一入學前的暑假自學的微積分,高一的時候遇到一個定積分∫[0,π/2]dx/√(sinx),開始不知道這是一個超越積分,所以高一只要有空餘時間我就會計算這個定積分,直到高二學完伽馬函式後才計算出其值為(γ(1/4))^2/(2√(2π)),並由此得出不定積分∫dx/√(sinx)也是超越積分.
常見的超越積分還有很多,尤其像那種三角函式帶根號的,多半都是超越的,自學時要注意
6樓：匿名使用者
概念不同。不定積分是求原函式，定積分實質上是不均勻量求和。
一般定積分的計算是利用n-l公式，求原函式的增量。
7樓：
積分範圍不同,定就是確定範圍,不定就不寫上下範,只寫出積分符號
大一高數不定積分例題求解！！！
8樓：慧聚財經
題目給出的條件啊
如圖所示
9樓：睜開眼等你
切線斜率是橫座標的兩倍，切線斜率就是導數，橫座標就是x
求解一道大一高數不定積分題？
10樓：孤狼嘯月
這道大一高等數學不定積分問題可以採用換元法很容易進行求解，令t＝✓x，而後利用分部積分法進行求解。
11樓：你的眼神唯美
不定積分結果不唯一求導驗證應該能夠提高湊微分的計算能力先寫後問唉。類似題庫集錦大全。
大一高數不定積分
12樓：匿名使用者
首先，奇函式在對稱區間的積分值為0，因此該積分的第二部分為0；
第一部分積分，被積函式表示x軸上方的半圓
該積分的值等於該半圓的面積。
因此 這個積分=1/2*π*2^2+0=2π
13樓：三城補橋
∫cos(√x)dx
令√x=u,則dx/2√x=du,dx=2(√x)du=2udu,原式=2∫ucosudu
=2∫ud(sinu)
=2[usinu-∫sinudu]
=2(usinu+cosu)+c
=2[(√x)sin(√x)+cos(√x)]+c~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~∫√x(x+1)^2dx
令√x=t, 則dx=2tdt，帶入
=∫t(t^2+1)^2*2tdt
=∫2t^6+4t^4+2t^2dt
=2/7t^7+4/5t^5+2/3t^3+c反帶回=2/7(√x)^7+4/5(√x)^5+2/3(√x)^3+c
~~~~~~~~~~~~
∫e^x/(1+e^x)^(1/2)dx
=∫2d[(1+e^x)^(1/2)]
=2(1+e^x)^(1/2)+c
大一高數問題不定積分
14樓：匿名使用者
∫cos(√x)dx
令√x=u,則dudx/2√x=du,dx=2(√x)du=2udu,
原式=2∫zhiucosudu
=2∫ud(sinu)
=2[usinu-∫sinudu]
=2(usinu+cosu)+c
=2[(√x)sin(√x)+cos(√x)]+c~~dao~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~∫√x(x+1)^2dx
令√x=t, 則dx=2tdt，帶入
=∫t(t^2+1)^2*2tdt
=∫2t^6+4t^4+2t^2dt
=2/7t^7+4/5t^5+2/3t^3+c反帶回=2/7(√x)^7+4/5(√x)^5+2/3(√x)^3+c
~~~~~~~~~~~~
∫e^x/(1+e^x)^(1/2)dx
=∫2d[(1+e^x)^(1/2)]
=2(1+e^x)^(1/2)+c
15樓：匿名使用者
這些不同請教老師比較好
大一，高數，求不定積分,求解一道大一高數不定積分題？
版e x 1 dx lety x 1 dy dx 2 x 1 dx 2ydy e 權 x 1 dx 2 ye y dy 2 yde y 2ye y 2 e y dy 2ye y 2e y c 2 x 1 e x 1 2e x 1 c 求解一道大一高數不定積分題？這道大一高等數學不定積分問題可以採用換...
大一高數,定積分應用體積問題,大一高數,定積分應用體積問題
個人感覺挺重要來的,因為源這種題目不難,但卻bai很容易被人忽略。現在最du重要的就是定積 zhi分在幾何中dao 的應用,物理中的應用可能有點削弱了。不過其實裡面的內容不多。對於幾何應用,主要考察 計算平面面積,計算曲線長度,計算旋轉體體積。而物理應用主要考察 計算水壓力,計算功,計算引力 這個基...
高數不定積分，高等數學不定積分
不定積分是高數計算問題中的難點，也是重點，因為還關係到定積分的計算。要想提高積分能力，我認為要注意以下幾點 1 要熟練掌握導數公式。因為求導與求積是逆運算，導數特別是基本初等函式的導數公式掌握好了，就為積分打下了良好的基礎。2 兩類換元法及分部積分法中，第一類換元法是根本，要花時間和精力努力學好。3...