1樓：
方法1：
sn=1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+……
>1+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+……
＝1+1/2+1/2+1/2+……
方法2:
s=1+1/2+1/3+.
>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+...+ln(1+1/n)
=ln2+ln3/2+ln4/3+...+ln((n+1)/n)=ln(2*3/2*4/4*...(n+1)/n)=ln(1+n)n-->+∞
2樓：大學考試助攻
利用不等式x>ln(1+x)
由於 s=1+1/2+1/3+.
>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+...+ln(1+1/n)
=ln2+ln3/2+ln4/3+...+ln((n+1)/n)=ln(2*3/2*4/4*...(n+1)/n)=ln(1+n)n-->+∞
祝學習進步，拿獎學金，天天開心!
數列求和 1+1/2+1/3+1/4+1/5+……1/n=? 急~
3樓：你愛我媽呀
利用「尤拉公式：1+1/2+1/3+……+1/n=ln(n)+c,c為尤拉常數數值是0.5772……
則1+1/2+1/3+1/4+...+1/2007+1/2008=ln(2008)+c=8.1821（約）
就不出具體數字的，如果n=100 那還可以求的 。然而這個n趨近於無窮 ，所以算不出的。
它是實數，所以它不是有理數就是無理數，而上兩層的人說「談不上到底是無理數還是有理數」的說法顯然是錯誤的。而根據種種依據可判斷它是無理數。
具體證明過程如下：
首先我們可以知道實數包括有理數和無理數，而有理數又包括有限小數和無限迴圈小數，有理數都可以劃成兩個有限互質整數相除的形式（整數除外）。而1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n (n為無限大)通分以後的分子和分母都是無窮大，不是有限整數，且不能約分，所以它不屬於有理數，因此它是無理數。
而1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n (n為無限大)不存在迴圈節，不可能根據等比數列知識劃成兩個互質整數相除的形式。所以它終究是無理數。
這是有名的調和級數,是高數中的東西。這題目用n!
當n->∞，1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n->∞，是個發散級數
當n很大時，有個近似公式：1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n=γ+ln(n)
γ是尤拉常數，γ=0.57721566490153286060651209...
ln(n)是n的自然對數（即以e為底的對數,e=2.71828...）
由於ln(1+1/n)ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)
=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]
=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)
由於lim sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞
所以sn的極限不存在，調和級數發散。
但極限s=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）卻存在，因為
sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n)
=ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)
由於lim sn（n→∞）≥lim ln(1+1/n)（n→∞）=0
因此sn有下界
而sn-s(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)]
=ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)>ln(1+1/n)-1/n>0
所以sn單調遞減。由單調有界數列極限定理，可知sn必有極限，因此
s=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在。
4樓：凌吟佳
當n很大時，有：1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+...1/n = 0.57721566490153286060651209 + ln(n)//c++裡面
用log(n)，pascal裡面用ln(n)
0.57721566490153286060651209叫做尤拉常數
to gxq:
假設;s(n)=1+1/2+1/3+1/4+..1/n
當 n很大時 sqrt(n+1)
= sqrt(n*(1+1/n))
= sqrt(n)*sqrt(1+1/2n)
≈ sqrt(n)*(1+ 1/(2n))
= sqrt(n)+ 1/(2*sqrt(n))
設 s(n)=sqrt(n),
因為：1/(n+1)<1/(2*sqrt(n))
所以：s(n+1)=s(n)+1/(n+1)< s(n)+1/(2*sqrt(n))
即求得s(n)的上限
1+1/2+1/3+…+1/n是沒有好的計算公式的，所有計算公式都是計算近似值的，且精確度不高。
自然數的倒陣列成的數列,稱為調和數列.人們已經研究它幾百年了.但是迄今為止沒有能得到它的求和公式只是得到它的近似公式(當n很大時):
1+1/2+1/3+......+1/n≈lnn+c(c=0.57722......一個無理數,稱作尤拉初始,專為調和級數所用)
人們傾向於認為它沒有一個簡潔的求和公式.
但是,不是因為它是發散的,才沒有求和公式.相反的,例如等差數列是發散的,公比的絕對值大於1的等比數列也是發散的,它們都有求和公式.
5樓：匿名使用者
令 s(n) = 1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+...1/n，
則 s(∞) = 1 + (1/2+1/3) + (1/4+1/5+1/6+1/7) + ...
< 1 + (1/2+1/2) + (1/4+1/4+1/4+1/4) + ...
且 s(∞) = 1 + 1/2 +(1/3+1/4) + (1/5+1/6+1/7+1/8) + ...
> 1 + 1/2 +(1/4+1/4) + (1/8+1/8+1/8+1/8) + ...
可推證：1 + k/2 < s(n) < 1 + k，其中 k = log(ln)/log(2)，n>2
從上式，可看出s(n)不收斂。
我不知道樓主是如何得到 sqrt(n) 上限的，
但可以肯定上式在更接近s(n)上限（當n>40時）。
看到這個問題，首先想到是叫「尤拉常數」的東西，但在網上遍尋不到，
而後決定用不等式，但如果對整體處理，誤差非常大，
所以，我決定分段處理，不想居然成功了！
6樓：匿名使用者
簡單,就是尤拉常數0.57721566490153286060651209+log(n)
sn=1+1/2+1/3+1/4+......+1/n這個怎麼求和的？
7樓：假面
求不了，調和級數s=1+1/2+1/3+……是發散的，證明如下：
由於ln(1+1/n)ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)
=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]
=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)
由於lim sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞
所以sn的極限不存在，調和級數發散。
但極限s=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）卻存在，因為
sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n)
=ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)
由於lim sn（n→∞）≥lim ln(1+1/n)（n→∞）=0
因此sn有下界
而sn-s(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)]
=ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)>ln(1+1/n)-1/n>0
所以sn單調遞減。由單調有界數列極限定理，可知sn必有極限，因此
s=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在。
於是設這個數為γ，這個數就叫作尤拉常數，他的近似值約為0.57721566490153286060651209，目前還不知道它是有理數還是無理數。在微積分學中，尤拉常數γ有許多應用，如求某些數列的極限，某些收斂數項級數的和等。
例如求lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞），可以這樣做：
lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）=lim[1+1/2+1/3+…+1/(n+n)-ln(n+n)]（n→∞）-lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）+lim[ln(n+n)-ln(n)]（n→∞）=γ-γ+ln2=ln2
擴充套件資料：
隨後很長一段時間，人們無法使用公式去逼近調和級數，直到無窮級數理論逐步成熟。2023年牛頓在他的著名著作《流數法》中推匯出第一個冪級數：
ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - ...
euler(尤拉)在2023年，利用newton的成果，首先獲得了調和級數有限多項和的值。結果是：
1+1/2+1/3+1/4+...+1/n= ln(n+1)+r(r為常量)
他的證明是這樣的：
根據newton的冪級數有：
ln(1+1/x) = 1/x - 1/2x^2 + 1/3x^3 - ...
於是：1/x = ln((x+1)/x) + 1/2x^2 - 1/3x^3 + ...
代入x=1,2,...,n，就給出：
1/1 = ln(2) + 1/2 - 1/3 + 1/4 -1/5 + ...
1/2 = ln(3/2) + 1/2*4 - 1/3*8 + 1/4*16 - ...
......
1/n = ln((n+1)/n) + 1/2n^2 - 1/3n^3 + ...
相加，就得到：
1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + 1/2*(1+1/4+1/9+...+1/n^2) - 1/3*(1+1/8+1/27+...
+1/n^3) + ......
後面那一串和都是收斂的，我們可以定義
1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + r
euler近似地計算了r的值，約為0.5772156649。這個數字就是後來稱作的尤拉常數。
證明 級數1 nn1 n是發散 提示 將 1 nn1 n
那就bai按提示來。通項an 1 n dun 1 n 分子zhi分母同乘以 daon 1 n 1 n n 1 n n 1 1 n n n 1 1 n 1 1 n n 1 n 1 n 1 注意到內第一項構成的級數恰好容是lebniz級數，1 n 1 n 是單調遞減趨於0的，因此級數收斂 而第二項構成的...
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