1樓：裘珍
^證明：設橢圓的標準方程為x^62616964757a686964616fe78988e69d83313333656338352/a^2+y^2/b^=1,為了便於計算,整理為:(bx)^2+(ay)^2=(ab)^2...
(1); 直線方程為 ：y=kx+m.....(2); 與（1）聯立，求解x和y。
將（2)代入(1),得：
[b^2+(ka)^2]x^2+2kma^2x+m^2-(ab)^2=0;△=(2kma^2)^2-4[b^2+(ka)^2](m^2-(ab)^2) =4; 令：p=[(ka^2)^2-b^2-(ka)^2],r=[b^2+(ka)^2], q=[b^2+(ka)^2](ab)^2; △=4pm^2+q.......(3)
設直線與橢圓的交點分別為a（x1,y1), b(x2,y2), ab弦長為:l=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2] 由（2）得：y1-y2=kx1+m-kx2-m=k(x1-x2), 代入(4),得：
l=√[（1+k）(x1-x2)^2]...(5);( x1-x2)只與 √△/2r有關，(x1-x2)^2=2(√△/2r)^2=2*(3)/4r^2.代入(5),得:
l=(2pm^2+2q)/r^2;
l『=4pm/r^2=0, 因為p>0, r^2>0,所以，當m=0shi, l有極大值，也是其最大值。使（1）為：y=kx。
因此，在y=kx+m 的直線族中，當m=0時，橢圓中的弦最長。證畢。
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