1樓:匿名使用者
這個問題你可bai以作為一道證明題來du
做:證zhi明不同特徵值對應的特dao徵向量線型無關專.設x1,x2 是a的兩個不同屬的特徵值;n1,n2分別為其對應的特徵向量.
設存在實數k1.k2 使得 k1*n1+k2*n2=0;易證不同特徵值對應的特徵向量線型無關.還可以從特徵值和特徵向量的定義式看:
an1=x1*n1;an2=x2*n2a 為矩陣; x1,x2為特徵值;n1,n2為其對應的特徵向量若n2與n1 線性相關,則n2= b*n1 帶入an2=x2*n2得到:b*an1=b*x1*n1 ;也即an1=x1*n1得到特徵值x2的存在是沒有意義的,或者說是和x1相等的.與已知他們是兩個不同的特徵值是矛盾的.
所以:n2與n1 線性相關的假設是錯誤的
1.矩陣不同的特徵值對應的特徵向量一定線性無關嗎 2.相同特徵值對應的特徵向量會不會線性無關
2樓:小樂笑了
1、矩陣不同
的特徵值對應的特徵向量一定線性無關
證明如下:
假設矩陣a有兩個不同特徵值k,h,相應特徵向量是x,y其中x,y線性相關,不妨設y=mx,因此,得到ax=kx【1】
ay=hy=hmx
即amx=hmx【2】
而根據【1】有
amx=kmx【3】
【2】-【3】,得到
0=(h-k)mx
由於特徵向量x非零向量,而h,k兩個特徵值不相同,即h-k不為0則m=0,則y=mx=0,這與特徵向量非零向量,矛盾!
因此假設不成立,從而結論得證
2、相同特徵值對應的特徵向量不一定線性無關因為,某個特徵值的一個特徵向量的非零倍數,也是該特徵值的特徵向量但兩個特徵向量,因為是倍數關係,因此是線性相關的。
又例如,如果一個特徵值,相應特徵方程解出來,基礎解系中有多個解向量,這些解向量是線性無關的,且都是此特徵值的特徵向量。
3樓:你好丶吊
特徵值不同 是 特徵向量線性無關的 充分不必要條件。
1.充分條件很容易理解。
2.必要條件的理解。
由對稱矩陣的性質可得:k重特徵值必有k個線性無關的特徵向量。
也就是說:對於對稱矩陣,無論有沒有相同的特徵值,它的特徵向量都是線性無關的。所以由後邊不能推到前邊。
4樓:2048人
1. 是
2. 可能會
為什麼不同特徵值對應的特徵向量一定線性無關?還有怎麼判斷一個n階矩陣有n個線性無關的特徵向量?
5樓:匿名使用者
特徵值a的幾何重數就是 n-r(a-ae)
也就是齊次線性方程組 (a-ae)x=0 的基礎解系所含向量的個數
幾何重數不超過代數重數
6樓:電燈劍客
對於不同特徵值對應的特徵向量的無關性,直接用線性無關的定義,藉助vandermonde行列式即可
至於幾何重數的具體資訊,從jordan標準型裡直接可以讀出來
如何證明一個矩陣不同特徵值對應特徵向量線性無關,是不是很麻煩過程
7樓:天龍八部大結局
以兩個為例,顯然兩個向量線性相關意味著相差一個常數倍。
然而某個特徵值的特徵向量的非零常數倍仍然是這個特徵值所對應的特徵向量。
這就與特徵值不同相矛盾。更多證明如圖
為什麼不同特徵值的特徵向量線性無關?
8樓:匿名使用者
這個問題你可以作為一道證明題來做:
證明不同特徵值對應的特徵向量線型無關。
設x1,x2 是a的兩個不同的特徵值;n1,n2分別為其對應的特徵向量。
設存在實數k1.k2 使得 k1*n1+k2*n2=0;
易證不同特徵值對應的特徵向量線型無關。
還可以從特徵值和特徵向量的定義式看:
an1=x1*n1;an2=x2*n2
a 為矩陣; x1,x2為特徵值;n1,n2為其對應的特徵向量若n2與n1 線性相關,則n2= b*n1 帶入an2=x2*n2得到:
b*an1=b*x1*n1 ;也即an1=x1*n1得到特徵值x2的存在是沒有意義的,或者說是和x1相等的。
與已知他們是兩個不同的特徵值是矛盾的。
所以:n2與n1 線性相關的假設是錯誤的。
9樓:匿名使用者
如果兩個特徵向量x1,x2線性相關,則對應分量成比例,即x1=k x2
那麼兩個特徵向量的特徵值必然相等。a x1=k a x2=k k2 x2=k2 x1=k1 x1,
所以k1=k2。
屬於同一特徵值的特徵向量也線性無關麼
10樓:是你找到了我
同一特徵值對應的特
徵向量不一定線性無關;不同特徵值對應的特徵向量線性無關。
求矩陣的全部特徵值和特徵向量的方法如下:
1、計算的特徵多項式;
2、求出特徵方程的全部根,即為的全部特徵值;
3、對於的每一個特徵值,求出齊次線性方程組的一個基礎解系,則可求出屬於特徵值的全部特徵向量。
需要注意的是:若是的屬於的特徵向量,則也是對應於的特徵向量,因而特徵向量不能由特徵值惟一確定;反之,不同特徵值對應的特徵向量不會相等,亦即一個特徵向量只能屬於一個特徵值。
11樓:憑樂令利
書本上之所以只談論不同特徵值的特徵向量線形無關是因為:對於同一特徵值對應不同特徵向量的求法實質為求方程組基礎解系的問題,基礎解系最重要特點就是線性無關,編書人覺得這個是很自然的情況也就沒有單獨列出來
12樓:匿名使用者
不能這麼說。。屬於不同特徵值的向量分別有無數個,但你隨便分別挑兩個都是線性無關的。而屬於同一個特徵值的向量同樣有無數個,並不是每兩個都線性無關。
你要去解它的基礎解繫到底有幾個線性無關的向量。不知道這麼說樓主能不能明白。
13樓:匿名使用者
屬於不同特徵值的向量分別有無數個,但你隨便分別挑兩個都是線性無關的。而屬於同一個特徵值的向量同樣有無數個,並不是每兩個都線性無關。你要去解它的基礎解繫到底有幾個線性無關的向量。
例如二階單位陣e的特徵值1有無窮多個特徵向量,其中任意三個以上的特徵向量都是線性相關的;但是,特徵向量(1,0)^t與(0,1)^t是線性無關的,而任何單獨一個特徵向量也是線性無關的。
特徵向量的基本資訊:
數學上,線性變換的特徵向量(本徵向量)是一個非簡併的向量,其方向在該變換下不變。該向量在此變換下縮放的比例稱為其特徵值(本徵值)。一個線性變換通常可以由其特徵值和特徵向量完全描述。
特徵空間是相同特徵值的特徵向量的集合。"特徵"一詞來自德語的eigen。2023年希爾伯特首先在這個意義下使用了這個詞,更早亥爾姆霍爾茲也在相關意義下使用過該詞。
eigen一詞可翻譯為"自身的"、"特定於......的"、"有特徵的"、或者"個體的"。這顯示了特徵值對於定義特定的線性變換有多重要。
中文名稱
特徵向量
外文名稱
eigenvector
線性無關的基本資訊:
不同特徵值對應的特徵向量組成的向量組線性無關 怎麼證明
14樓:匿名使用者
看看這個證明:
有疑問請追問或訊息我
15樓:匿名使用者
求解特徵值與特徵向量的步驟為:
1、應先由|λe-a|=0求得特徵值;
2、由方程(λe-a)_x=0 求得特徵向量;
3、由性質:屬不同特徵值的特徵向量一定線性無關。
16樓:藺真戰悠馨
看看這個證明:
有疑問請追問或訊息我
為什麼在求特徵向量裡重根對應的特徵向量卻不一定線性無關?
17樓:傑哥的
**性方程組
bai裡基礎解系線性無du關,在特徵
zhi向量裡重根對應的特dao徵向量卻不一定線性回無答關。
一般情況下求特徵值對應的特徵向量都是求對應的線性方程組的線性無關的解(即基礎解系),求基礎解系的時候是把自由變數取了一組線性無關的值得出來的,但如果取的不是線性無關的,那麼對應的特徵向量(方程組的解)也就不一定是線性無關的了。
擴充套件資料
線性方程組有以下兩種解法:
1、克萊姆法則:用克萊姆法則求解方程組有兩個前提,一是方程的個數要等於未知量的個數,二是係數矩陣的行列式要不等於零。
用克萊姆法則求解方程組實際上相當於用逆矩陣的方法求解線性方程組,它建立線性方程組的解與其係數和常數間的關係,但由於求解時要計算n+1個n階行列式,其工作量常常很大,所以克萊姆法則常用於理論證明,很少用於具體求解。
2、矩陣消元法:將線性方程組的增廣矩陣通過行的初等變換化為行簡化階梯形矩陣 ,則以行簡化階梯形矩陣為增廣矩陣的線性方程組與原方程組同解。當方程組有解時,將其中單位列向量對應的未知量取為非自由未知量,其餘的未知量取為自由未知量,即可找出線性方程組的解。
18樓:紀密立
其實17年的那來個回答已經說得源
很不錯了,bai這裡加上我自du己的理解方式:
1、大家都知道
zhi」重dao根所對應的特徵向量的形式是由基礎解系所組成的,例如k*a +m*b(k,m不同時等於0)這種形式「。。。。。所以這也就意味著「重根的數量與其所對應的線性無關的解向量的個數這兩者之間是直接影響著特徵向量的相關性」。如下分析:
2、當重根的個數等於其線性無關的解向量的個數時,那麼特徵向量就無關,因為這時候對於每一個重根而言都可以分別取一個線性無關的解向量,故自然也就線性無關。。。。。而當兩者個數不等時(此時一定有重根個數大於解向量的個數),重根中的某個根所對應的特徵向量必然是線性無關的解向量的組合形式,所以自然就線性相關。
19樓:實實多才
你的問題我也研究過,你的誤區在於你沒把特徵向量搞懂,重根的特徵向量求回解是與方程組相同的,答但重根的基礎解系向量個數是不定的...也就是說若重根對應的基礎解系向量個數為2,那麼向量之間就線性無關,特徵向量就線性無關,但重根對應的基礎解系向量個數為1,那麼特徵向量就線性相關
20樓:匿名使用者
**性方程組裡基抄礎解系線性無bai關,
特徵向量du裡重根對應的特徵向量卻不zhi一定線dao性無關,一般情況下我們求特徵值對應的特徵向量都是求對應的線性方程組的線性無關的解(即基礎解系),我們求基礎解系的時候是把自由變數取了一組線性無關的值得出來的,但如果你取的不是線性無關的,那麼對應的特徵向量(方程組的解)也就不一定是線性無關的了。
何為特徵向量?我們在求特徵向量時是先求基礎解系的,那麼那個基礎解系按理說一定線性無關,特徵向量也一定是線性無關的,你說的是不可能的。因為求出來的基礎解系就是線性無關的特徵向量啊。
為什麼不同特徵值對應的特徵向量一定線性無關
用數學歸納法 只有一個特徵值時，因特徵向量非0，所以無關。設k 1個不同的特徵值對應的特徵向量無關 則k個時，作線性組合為0向量，此式記為1 兩邊左乘a即和特徵值聯絡，此式記為2 1式兩邊乘第k個特徵值，此式記為3 3 2即消去第k個特徵向量，由歸納假設，k 1個特徵向量無關，即得1式中的組合係數都...
如何證明矩陣不同特徵值對應特徵向量線性無關，是不是很麻煩過程
不麻煩，直接用線性無關的定義，藉助vandermonde行列式即可 用數學歸納法bai。一個特du徵值對應的特徵向量線性無關zhi。假設dao結論對k 1成立，則對k，設回p1,p2，pk是對應於不同特 答徵值a1，a2，ak的特徵向量，令b1p1 bkpk 0，左乘a得，b1a1p1 bkakpk...
matlab中求特徵值和特徵向量的具體演算法是什麼啊
eig a 主要用qr演算法，如果a對稱則使用對稱qr演算法 如果要特徵向量的話有可能會用divide and conquer eig a,b 用qz演算法，如果探測到a對稱，b對稱正定，則對b做cholesky分解後再用對稱qr演算法 svd的演算法和對稱qr演算法類似。這些不是幾句話就能明白的，...