1樓：高樓居士
2023年11月國家技術監督局釋出的《中華人民共和國國家標準,物理科學和技術中使用的數學符號》中,將自然數集記為
n= 而將原自然數集稱為非零自然數集
n+(或n*)=.
自然數集擴充後,文[1]中的自然數的基數理論以及其他一些與自然數有關的理論問題隨之起變化,這給數學教學與數學應用產生一定影響.為此,我們將自然數的基數理論討論如下.
1 對自然數的**的認識
由於自然數的概念是建立在基數理論[1]之上的,基數是由集合對等而來.最初人類對物品的計數,是將物品與人的手指(腳趾)數形成對映關係,物品既然存在「多少」,也就存在「有」或「沒有」,「沒有」即可認為是空集,其計數應當是零.這就是說,零與非零自然數是人類認識同步的客觀現象,而並非是6世紀才有零的概念.
也許這就是將零補充到自然數集的緣由之一.事實上,國外許多文獻和專家早就主張將零作為第一個自然數.
2 自然數的新概念
自然數擴充後,包含了空集的基數,要去掉原有自然數定義中「非空」的限制條件,即定義1 有限集合的基數叫做自然數.根據對等的概念,可以建立n與n+的一一對映關係f:
n↓=n+=
由此可見,n與n+有相同的基數,即|n|=|n+|.
3 自然數的四則運算
自然數加法、乘法運算義定只要去掉原有定義中的「非空」二字即可,亦即
定義2 設有有限集合a和b,且a∩b=φ(a,b分離).若記a∪b=c,集合a,b,c的基數分別是a,b和c,那麼c叫做a與b的和,記作
a+b=c.
a和b叫做加數.求兩個數的和的運算叫做加法.
定義3 設有m(m>1)個相互對等,且兩兩分離的有限集合a1,a2,a3,…,am,它們的基數都是n.又設a=umi=1ai,a的基數記作
a,即有a=n+n+…+nm個,這個a就叫做n乘以m的積,記作a=n×m,或a=n.m,或a=nm.n稱為被乘數,m稱為乘數.求兩個數積的運算叫做乘法.
對於數0,1,補充義定:n和0的積是0,n和1的積是n,即n.0=0,n.1=1.
在上述定義裡,加法、乘法的交換律、結合律,乘法對於加法的分配律仍然成立.
關於減法運算的定義,除了去掉「非空」二字外,集合b可以是a本身,即
定義4 設有有限集合a和b,b a,若記a-b=c,且a,b,c的基數分別記作a,b,c,那麼c叫做a,b的差,記作
a-b=c.
a叫做被減數,b叫做減數.求兩個數差的運算叫做減法.
除法是乘法的逆運算,在原定義中要限定「除數非零」即可.
定義5 設a,b(b≠0)是兩個自然數,如果存在一個自然數c,使得bc=a,那麼c叫做a除以b所得的商,記作
ab=c,或a÷b=c.
a稱為被除數,b稱為除數.求兩個數商的運算叫做除法.
4 自然數的有關性質
(1)自然數的有序性決定了自然數可以比較大小,即
定義6 如果兩個有限集合a,b的基數分別為a,b,那麼
1° 當a a′,a′～b時,a>b;
2° 當b′ b,a～b′時,a0時,ac≥bc,
當c=0時,ac=bc.
對於與自然數有關的數學論證與原理,應隨自然數擴充後作相應調整.如數學歸納法證明的步驟應是
1° 驗證n=0時,命題成立;
2° 假設n=k-1時成立,則n=k時命題成立.
2樓：匿名使用者
是自然數,現在已經被逐漸認同
0是不是自然數
3樓：_風催沃已散
0是自然數.
一、0早於公元前400年被巴比倫人用作數碼使用.
瑪雅人於公元200年將0視為數字，但未與其它文明有所交流。現代的觀念由印度學者brahmagupta於公元628年提出。經阿拉伯人傳至歐洲。
歐洲人開始時仍對零作為數字感到抗拒。認為0不是一個「自然」數。十九世紀末，集合論者給自然數一個較嚴謹的定義，據此定義，把0(對應於空集)包括於自然數內更為方便。
許多數學家特別是邏輯論者及電算機科學家，接受集合論者的定義，但有些數學家(主要是數論學家)，則依從傳統把0拒之於自然數之外。
二、從自然數的本意看
自然數可以理解為人們在生活中自然出現的一些數，這最早要追溯到我國原始社會的結繩記數。小學生都知道「數物體時得到的1，2，3。4 … …，叫做自然數」.
我們提出由物體的個數看這些自然出現的數，有一個物體記為1、兩個物體記為2。如果沒有物體呢?顯然應該記為0，那麼從自然數的本意看，自然數包含0是有道理的。
當然從數的發展歷程看，0的出現要比其它自然數晚.但是我們不能由出現的早與晚來判斷是否為自然數。
三、人民教育出版社的解釋
從歷史上看，國內和國外對於0是不是自然數歷來有兩種規定:一種規字0是自然數.另一種規定0不縣自然數。
建國以來。我們國家的中小學教材一直規定自然數集合不包括0。 現在，國外的數學界大部分都是規定0是自然數，為了國際交流的方便。
《國家標準》中規定.自然數集包括0。因此在我們新出版的教材中。
按照《國家標準》進行了這樣的處理，原來的自然數集合現在稱為正整數集。同時，我們也按照國家標準的規定規範使用了一些數學符號的表示方法。
四、反對者的愈見
有人對0是自然數很不理解，甚至提出「把0定義為自然數實在是中國數學的倒退.是中國哲學與科學的衰落，是中華民族的悲哀！…… 0沒有個性，沒有發展前途。
左右逢源，圓滑世故，不偏不倚，甘居中游再過億萬年，仍然是個。零不符合自然數「自自然然向前發展」的本質。
五、我們如何對待這個問題
原本0是自然數或不是自然數都有它的道理。沒有必要因為說其是或說其不是而大驚小怪。只要統一就行。
社會發展、科學進步都需要協作與交流，現大多數國家規定0是自然數，那麼我們做這樣的規定也未嘗不可。
0是不是自然數？要權威答案
4樓：縱橫豎屏
0是自然數。
自然數用以計量事物的件數或表示事物次序的數。即用數碼0，1，2，3，4，……所表示的數。
表示物體個數的數叫自然數，自然數由0開始，一個接一個，組成一個無窮的集體。自然數有有序性，無限性。分為偶數和奇數，合數和質數等。
自然數是一切等價有限集合共同特徵的標記。（注：整數包括自然數，所以自然數一定是整數，且一定是非負整數。）
5樓：**也要抽菸
0是自然數。
現行九年義務教育教科書和高階中學教科書（試驗修訂本）都把非負整數集叫做自然數集，記作n，而正整數集記作n+或n*。
這就一改以往0不是自然數的說法，明確指出0也是自然數集的一個元素。0同時也是有理數，也是非負數和非正數。
對於「0」，它是否包括在自然數之記憶體在爭議，有人認為自然數為正整數，即從1開始算起；而也有人認為自然數為非負整數，即從0開始算起。到21世紀關於這個問題也尚無一致意見。
在國外，有些國家的教科書是把0也算作自然數的。這本是一種人為的規定，我國為了推行國際標準化組織（iso）制定的國際標準，定義自然數集包含元素0，也是為了早日和國際接軌。
0的性質
0既不是正數也不是負數，而是正數和負數之間的一個數。當某個數x大於0（即x>0）時，稱為正數；反之，當x小於0（即x<0）時，稱為負數；而這個數x等於0時，這個數就是0。
0既不是正數也不是負數，而是介於-1和+1之間的整數。
0是偶數。
0是最小的完全平方數。
0的相反數是0，即，-0=0。
0的絕對值是其本身，即，∣0∣=0。
0乘任何實數都等於0，除以任何非零實數都等於0,任何實數加上0等於其本身。
0沒有倒數和負倒數，一個非0的數除以0在實數範圍內無意義。
0的正數次方等於0，0的負數次方無意義，因為0沒有倒數。
除0外，任何數的的0次方等於1。
0的0次方是懸而未決的，在某些領域定義為1，某些領域未定義。不定義的理由是以連續性為考量，不定義不連續點。
0不能做對數的底數和真數。
0也不能做除數、分數的分母、比的後項。
0在多位數中起佔位作用，如108中的0表示十位上沒有，切不可寫作18。
0不可作為多位數的最高位。
當0不位於其他數字之前時表示一個有效數字。
0的階乘等於1。
0始終是直角座標系的原點。
0是正數和負數的分界點。
任何數乘0都得0。
0是最小的自然數。
分式中分母為0無意義。
在複數集中，0是模最小的數，而且是唯一一個無輻角定義的元素。
低階無窮小與高階無窮小的比值是0。
定積分中，積分上限和下限相等時，積分值始終為0。
概率論中，用0表示不可能事件，或者在連續概率分佈中位於某一特定自變數這一事件的概率。
6樓：匿名使用者
0是自然數
從歷史上看，國內和國外對於0是不是自然數歷來有兩種規定：一種規定0是自然數，另一種規定0不是自然數。建國以來，我們國家的中小學教材一直規定自然數集合不包括0。
現在，國外的數學界，大部分都是規定0是自然數，為了國際交流的方便，《國家標準》中規定，自然數集包括0。因此，在我們新出版的教材中，按照《國家標準》進行了這樣的處理，原來的自然數集合現在稱為正整數集。同時，我們也按照國家標準的規定規範使用了一些數學符號的表示方法。
從使用上看，規定自然數集合是否包括0並無太大影響。作為序數，從0開始和從1開始是一樣的；以前我們所說的n∈n，現在只要說n是正整數就可以了。
7樓：匿名使用者
70-80年代時0不是自然數，現在為了和國際接軌,從小學教科書上開始0也是自然數。(如果你問爺爺輩的人，他們會說0不是自然數)
8樓：匿名使用者
在以前的教材中，0不列入自然數的範圍。
但新的教材中，0屬於自然數。
以教材為準，0屬於自然數。
9樓：匿名使用者
自然數用以計量事物的件數或表示事物次序的數。即用數碼0，1，2，3，4，……所表示的數。表示物體個數的數叫自然數，自然數由0開始，一個接一個，組成一個無窮的集體。
自然數有有序性，無限性。分為偶數和奇數，合數和質數等。
中文名自然數
外文名natural number
分類數學
又稱非負整數
性質有序性、無限性自然數用以計量事物的件數或表示事物次序的數。即用數碼0，1，2，3，4，……所表示的數。表示物體個數的數叫自然數，自然數由0開始，一個接一個，組成一個無窮的集體。
自然數有有序性，無限性。分為偶數和奇數，合數和質數等。
中文名自然數
外文名natural number
分類數學
又稱非負整數
性質有序性、無限性
0是自然數嗎，0為什麼是自然數？什麼叫自然數
隨著九年義務教育小學數學教材 試用修訂版 的陸續使用，我們接到一些小學數學教師 家長和學生的來信 來電，詢問0是否是自然數的問題。現予以解答如下 從歷史上看，國內外數學界對於0是不是自然數歷來有兩種觀點 一種認為0是自然數，另一種認為0不是自然數。建國以來，我國的中小學教材一直規定自然數不包括0。目...
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