1樓：匿名使用者
應該是具有防止過擬合作用吧。
參考下文：
二、l2範數
除了l1範數，還有一種更受寵幸的規則化範數是l2範數: ||w||2。它也不遜於l1範數，它有兩個美稱，在迴歸裡面，有人把有它的迴歸叫「嶺迴歸」（ridge regression），有人也叫它「權值衰減weight decay」。
這用的很多吧，因為它的強大功效是改善機器學習裡面一個非常重要的問題：過擬合。至於過擬合是什麼，上面也解釋了，就是模型訓練時候的誤差很小，但在測試的時候誤差很大，也就是我們的模型複雜到可以擬合到我們的所有訓練樣本了，但在實際**新的樣本的時候，糟糕的一塌糊塗。
通俗的講就是應試能力很強，實際應用能力很差。擅長背誦知識，卻不懂得靈活利用知識。例如下圖所示（來自ng的course）：
上面的圖是線性迴歸，下面的圖是logistic迴歸，也可以說是分類的情況。從左到右分別是欠擬合（underfitting，也稱high-bias）、合適的擬合和過擬合（overfitting，也稱high variance）三種情況。可以看到，如果模型複雜（可以擬合任意的複雜函式），它可以讓我們的模型擬合所有的資料點，也就是基本上沒有誤差。
對於迴歸來說，就是我們的函式曲線通過了所有的資料點，如上圖右。對分類來說，就是我們的函式曲線要把所有的資料點都分類正確，如下圖右。這兩種情況很明顯過擬合了。
ok，那現在到我們非常關鍵的問題了，為什麼l2範數可以防止過擬合？回答這個問題之前，我們得先看看l2範數是個什麼東西。
l2範數是指向量各元素的平方和然後求平方根。我們讓l2範數的規則項||w||2最小，可以使得w的每個元素都很小，都接近於0，但與l1範數不同，它不會讓它等於0，而是接近於0，這裡是有很大的區別的哦。而越小的引數說明模型越簡單，越簡單的模型則越不容易產生過擬合現象。
為什麼越小的引數說明模型越簡單？我也不懂，我的理解是：限制了引數很小，實際上就限制了多項式某些分量的影響很小（看上面線性迴歸的模型的那個擬合的圖），這樣就相當於減少引數個數。
其實我也不太懂，希望大家可以指點下。
這裡也一句話總結下：通過l2範數，我們可以實現了對模型空間的限制，從而在一定程度上避免了過擬合。
l2範數的好處是什麼呢？這裡也扯上兩點：
1）學習理論的角度：
從學習理論的角度來說，l2範數可以防止過擬合，提升模型的泛化能力。
2）優化計算的角度：
從優化或者數值計算的角度來說，l2範數有助於處理 condition number不好的情況下矩陣求逆很困難的問題。哎，等等，這condition number是啥？我先google一下哈。
這裡我們也故作高雅的來聊聊優化問題。優化有兩大難題，一是：區域性最小值，二是：
ill-condition病態問題。前者俺就不說了，大家都懂吧，我們要找的是全域性最小值，如果區域性最小值太多，那我們的優化演算法就很容易陷入區域性最小而不能自拔，這很明顯不是觀眾願意看到的劇情。那下面我們來聊聊ill-condition。
ill-condition對應的是well-condition。那他們分別代表什麼？假設我們有個方程組ax=b，我們需要求解x。
如果a或者b稍微的改變，會使得x的解發生很大的改變，那麼這個方程組系統就是ill-condition的，反之就是well-condition的。我們具體舉個例子吧：
咱們先看左邊的那個。第一行假設是我們的ax=b，第二行我們稍微改變下b，得到的x和沒改變前的差別很大，看到吧。第三行我們稍微改變下係數矩陣a，可以看到結果的變化也很大。
換句話來說，這個系統的解對係數矩陣a或者b太敏感了。又因為一般我們的係數矩陣a和b是從實驗資料裡面估計得到的，所以它是存在誤差的，如果我們的系統對這個誤差是可以容忍的就還好，但系統對這個誤差太敏感了，以至於我們的解的誤差更大，那這個解就太不靠譜了。所以這個方程組系統就是ill-conditioned病態的，不正常的，不穩定的，有問題的，哈哈。
這清楚了吧。右邊那個就叫well-condition的系統了。
還是再囉嗦一下吧，對於一個ill-condition的系統，我的輸入稍微改變下，輸出就發生很大的改變，這不好啊，這表明我們的系統不能實用啊。你想想看，例如對於一個迴歸問題y=f(x)，我們是用訓練樣本x去訓練模型f，使得y儘量輸出我們期待的值，例如0。那假如我們遇到一個樣本x』，這個樣本和訓練樣本x差別很小，面對他，系統本應該輸出和上面的y差不多的值的，例如0.
00001，最後卻給我輸出了一個0.9999，這很明顯不對呀。就好像，你很熟悉的一個人臉上長了個青春痘，你就不認識他了，那你大腦就太差勁了，哈哈。
所以如果一個系統是ill-conditioned病態的，我們就會對它的結果產生懷疑。那到底要相信它多少呢？我們得找個標準來衡量吧，因為有些系統的病沒那麼重，它的結果還是可以相信的，不能一刀切吧。
終於回來了，上面的condition number就是拿來衡量ill-condition系統的可信度的。condition number衡量的是輸入發生微小變化的時候，輸出會發生多大的變化。也就是系統對微小變化的敏感度。
condition number值小的就是well-conditioned的，大的就是ill-conditioned的。
如果方陣a是非奇異的，那麼a的conditionnumber定義為：
也就是矩陣a的norm乘以它的逆的norm。所以具體的值是多少，就要看你選擇的norm是什麼了。如果方陣a是奇異的，那麼a的condition number就是正無窮大了。
實際上，每一個可逆方陣都存在一個condition number。但如果要計算它，我們需要先知道這個方陣的norm（範數）和machine epsilon（機器的精度）。為什麼要範數？
範數就相當於衡量一個矩陣的大小，我們知道矩陣是沒有大小的，當上面不是要衡量一個矩陣a或者向量b變化的時候，我們的解x變化的大小嗎？所以肯定得要有一個東西來度量矩陣和向量的大小吧？對了，他就是範數，表示矩陣大小或者向量長度。
ok，經過比較簡單的證明，對於ax=b，我們可以得到以下的結論：
也就是我們的解x的相對變化和a或者b的相對變化是有像上面那樣的關係的，其中k(a)的值就相當於倍率，看到了嗎？相當於x變化的界。
對condition number來個一句話總結：conditionnumber是一個矩陣（或者它所描述的線性系統）的穩定性或者敏感度的度量，如果一個矩陣的condition number在1附近，那麼它就是well-conditioned的，如果遠大於1，那麼它就是ill-conditioned的，如果一個系統是ill-conditioned的，它的輸出結果就不要太相信了。
好了，對這麼一個東西，已經說了好多了。對了，我們為什麼聊到這個的了？回到第一句話：
從優化或者數值計算的角度來說，l2範數有助於處理 condition number不好的情況下矩陣求逆很困難的問題。因為目標函式如果是二次的，對於線性迴歸來說，那實際上是有解析解的，求導並令導數等於零即可得到最優解為：
然而，如果當我們的樣本x的數目比每個樣本的維度還要小的時候，矩陣xtx將會不是滿秩的，也就是xtx會變得不可逆，所以w*就沒辦法直接計算出來了。或者更確切地說，將會有無窮多個解（因為我們方程組的個數小於未知數的個數）。也就是說，我們的資料不足以確定一個解，如果我們從所有可行解裡隨機選一個的話，很可能並不是真正好的解，總而言之，我們過擬合了。
但如果加上l2規則項，就變成了下面這種情況，就可以直接求逆了：
這裡面，專業點的描述是：要得到這個解，我們通常並不直接求矩陣的逆，而是通過解線性方程組的方式（例如高斯消元法）來計算。考慮沒有規則項的時候，也就是λ=0的情況，如果矩陣xtx的 condition number 很大的話，解線性方程組就會在數值上相當不穩定，而這個規則項的引入則可以改善condition number。
另外，如果使用迭代優化的演算法，condition number 太大仍然會導致問題：它會拖慢迭代的收斂速度，而規則項從優化的角度來看，實際上是將目標函式變成λ-strongly convex（λ強凸）的了。哎喲喲，這裡又出現個λ強凸，啥叫λ強凸呢？
當f滿足：
時，我們稱f為λ-stronglyconvex函式，其中引數λ>0。當λ=0時退回到普通convex 函式的定義。
在直觀的說明強凸之前，我們先看看普通的凸是怎樣的。假設我們讓f在x的地方做一階泰勒近似（一階泰勒忘了嗎？f(x)=f(a)+f『(a)(x-a)+o(||x-a||).）：
直觀來講，convex 性質是指函式曲線位於該點處的切線，也就是線性近似之上，而 strongly convex 則進一步要求位於該處的一個二次函式上方，也就是說要求函式不要太「平坦」而是可以保證有一定的「向上彎曲」的趨勢。專業點說，就是convex 可以保證函式在任意一點都處於它的一階泰勒函式之上，而strongly convex可以保證函式在任意一點都存在一個非常漂亮的二次下界quadratic lower bound。當然這是一個很強的假設，但是同時也是非常重要的假設。
可能還不好理解，那我們畫個圖來形象的理解下。
大家一看到上面這個圖就全明白了吧。不用我囉嗦了吧。還是囉嗦一下吧。
我們取我們的最優解w*的地方。如果我們的函式f(w)，見左圖，也就是紅色那個函式，都會位於藍色虛線的那根二次函式之上，這樣就算wt和w*離的比較近的時候，f(wt)和f(w*)的值差別還是挺大的，也就是會保證在我們的最優解w*附近的時候，還存在較大的梯度值，這樣我們才可以在比較少的迭代次數內達到w*。但對於右圖，紅色的函式f(w)只約束在一個線性的藍色虛線之上，假設是如右圖的很不幸的情況（非常平坦），那在wt還離我們的最優點w*很遠的時候，我們的近似梯度(f(wt)-f(w*))/(wt-w*)就已經非常小了，在wt處的近似梯度?
f/?w就更小了，這樣通過梯度下降wt+1=wt-α*(?f/?
w)，我們得到的結果就是w的變化非常緩慢，像蝸牛一樣，非常緩慢的向我們的最優點w*爬動，那在有限的迭代時間內，它離我們的最優點還是很遠。
所以僅僅靠convex 性質並不能保證在梯度下降和有限的迭代次數的情況下得到的點w會是一個比較好的全域性最小點w*的近似點（插個話，有地方說，實際上讓迭代在接近最優的地方停止，也是一種規則化或者提高泛化效能的方法）。正如上面分析的那樣，如果f(w)在全域性最小點w*周圍是非常平坦的情況的話，我們有可能會找到一個很遠的點。但如果我們有「強凸」的話，就能對情況做一些控制，我們就可以得到一個更好的近似解。
至於有多好嘛，這裡面有一個bound，這個 bound 的好壞也要取決於strongly convex性質中的常數α的大小。看到這裡，不知道大家學聰明瞭沒有。如果要獲得strongly convex怎麼做？
最簡單的就是往裡面加入一項(α/2)*||w||2。
呃，講個strongly convex花了那麼多的篇幅。實際上，在梯度下降中，目標函式收斂速率的上界實際上是和矩陣xtx的 condition number有關，xtx的 condition number 越小，上界就越小，也就是收斂速度會越快。
這一個優化說了那麼多的東西。還是來個一句話總結吧：l2範數不但可以防止過擬合，還可以讓我們的優化求解變得穩定和快速。
好了，這裡兌現上面的承諾，來直觀的聊聊l1和l2的差別，為什麼一個讓絕對值最小，一個讓平方最小，會有那麼大的差別呢？我看到的有兩種幾何上直觀的解析：
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