1樓：佇立的曠野
圓周率是有理數還是無理數，證明給你看
2樓：北美敗家子
圓周率π是無理數。證明如下：
假設π是有理數，則π=a/b，（a,b為自然數）
令f(x)=(x^n)[(a-bx)^n]/(n!)
若0 0 0 以上兩式相乘得： 0 當n充分大時，,在[0，π]區間上的積分有 0<∫f(x)sinxdx <[π^(n+1)](a^n)/(n!)<1 …………（1） 又令：f(x)=f(x)-f"(x)+[f(x)]^(4)-…+[(-1)^n][f(x)]^(2n),(表示偶數階導數) 由於n!f(x)是x的整係數多項式，且各項的次數都不小於n，故f(x)及其各階導數在x=0點處的值也都是整數，因此，f(x)和f(π)也都是整數。 又因為d[f'(x)sinx-f(x)conx]/dx =f"(x)sinx+f'(x)cosx-f'(x)cosx+f(x)sinx =f"(x)sinx+f(x)sinx =f(x)sinx 所以有： ∫f(x)sinxdx=[f'(x)sinx-f(x)cosx]，（此處上限為π，下限為0） =f(π)+f(0) 上式表示∫f(x)sinxdx在[0，π]區間上的積分為整數，這與（1）式矛盾。所以π不是有理數，又它是實數，故π是無理數。 證明π是無理數 3樓： 假設pi=a/b，我們定義（對某個n）： f(x) = (x^n) * (a-bx)^n / n! f(x) = f(x) + ... + (-1)^j * f^(2j)(x) + ... + (-1)^n * f^(2n)(x) 這裡f^(2j)是f的2j次導數. 於是f和f有如下性質（都很容易驗證）: （1)f(x)是一個整係數多項式除以n!。 （2)f(x) = f(pi - x) （3)f在(0,pi)區間上嚴格遞增，並且x趨於0時f(x)趨於0， x趨於pi時f(x)趨於pi^n * a^n / n! （4)對於0 <= j < n, f的j次導數在0和pi處的值是0。 （5)對於j >= n, f的j次導數在0和pi處是整數（由1)可知）。 （6)f(0)和f(pi)是整數（由4)，5)可知）。 （7)f + f'' = f （8)(f'·sin - f·cos)' = f·sin （由7)可知）。 這樣，對f·sin從0到pi進行定積分，就是 (f'(pi)sin(pi)-f(pi)cos(pi)) - (f'(0)sin(0)-f(0)cos(0)) =f(pi)+f(0) 由（6)可知這是個整數。 問題在於如果把n取得很大，由3)可知f·sin從0到pi進行定積分必須嚴格大於0嚴格小於1。矛盾，證畢。 4樓： 利用反證法，假設π是有理數，設π=a/b,a,b為互質正整數，定義f(x)=x^n*(a–bx)^n/n! =\sum_^n (-1)^i*a^(n-i)*b^i*x^(n+i)/ n!. f(0)=0;當02n時顯然有f(r)(0)=0, 當 5樓：o5議會某人員 分子和分母不是無理數這個分數就一定是有理數。然而周長／直徑等於兀，但周長和直徑都是有理數 6樓：欒聰丘夜梅 假設∏是有理數，則∏=a/b，(a,b為自然數) 令f(x)=(x^n)[(a-bx)^n]/(n!) 若0 0 0 以上兩式相乘得: 0 當n充分大時，,在[0，∏]區間上的積分有 0<∫f(x)sinxdx <[∏^(n+1)](a^n)/(n!)<1 …………(1) 又令:f(x)=f(x)-f"(x)+[f(x)]^(4)-…+[(-1)^n][f(x)]^(2n),(表示偶數階導數) 由於n!f(x)是x的整係數多項式，且各項的次數都不小於n，故f(x)及其各階導數在x=0點處的值也都是整數，因此，f(x)和f(∏)也都是整數。 又因為d[f'(x)sinx-f(x)conx]/dx =f"(x)sinx+f'(x)cosx-f'(x)cosx+f(x)sinx =f"(x)sinx+f(x)sinx =f(x)sinx 所以有: ∫f(x)sinxdx=[f'(x)sinx-f(x)cosx]，(此處上限為∏，下限為0) =f(∏)+f(0) 上式表示∫f(x)sinxdx在[0，∏]區間上的積分為整數，這與(1)式矛盾。所以∏不是有理數，又它是實數，故∏是無理數。 7樓：電燈劍客 3樓貼的證法已經是很簡潔的經典證法了。 首先需要肯定的是，π的定義依賴於極限，所以基本上不可能在初等數學範疇裡完成。 還有一種比較常規的方法就是利用連分數，其思想很簡單，因為有理數的連分數表示是有限的，只要找到π的連分數表示就行了。這種做法還可以適用於很多無理數的證明，當然你首先需要掌握如何把taylor級數轉化成連分數形式。學習這種方法還不如把3樓提供的方法看懂。 假設 根號5是有理數，設 根號5 p q,其中，p,q是正的自然數且互質。則由p 2 5q 2知 p 2可以被5整除，所以p也能被5 整除 反證法可以證得 如果p不能被5整除,則p 2也不能被5整除，得證 設p 5 n n是正的自然數 則5q 2 p 2 25n 2 這樣 q 2也能被5整除，q也能... 反證法 假設 3是有理數。1 2 3 2 2 2 1 3 2,所以 3不是整數，設 3 p q p和q互質 把 3 p q 兩邊平方 3 p 2 q 2 3 q 2 p 2 3q 2是3的倍數數，p 必定3的倍數，設p 3k3 q 2 9 k 2 q 2 3k 2 同理q也是3的倍數數，這與前面假設... 圓周率是用圓的周長除以它的直徑計算出來的。圓周率 即圓的周長與其直徑之間的比率。1 圓周率是一個超越數，它不但是無理數，而且比無理數還要無理。無理數有一個特點，就是小數部分是無限的，而且是不迴圈的。比如0.9的迴圈小數，這個雖然無限，但是重複的。而圓周率則是無限，而且數字不會重複，因此圓周率看起來非...證明根號5是無理數如何證明是無理數？
證明根號3是無理數，怎麼證明根號三是無理數
圓周率是怎麼算出來的？圓周率怎麼算出來的。