1樓：匿名使用者
整理一下讀大學時的一些筆記摘抄，力求全面，花了很多時間。但還顯得很凌亂...唯一希望對大家有所幫助。
一、數系的擴張分類
減法 除法 極限 代數方程
自然數→整數→有理數→實數 → 複數→哈密爾頓四元數→凱來八元數
分數 無理數 虛數
二、我們的學習的數系分類是與數系擴張的歷史不完全一致的。
原始人類清點數目時，只知道1，2，3等，當數目再大點的時候，只好用「許多」來表示。由此產生了自然數。
在負數產生之前，早就有了無理數的概念。
在實數理論還沒嚴密的時候，就已經產生了虛數的概念。
三、自然數（此處指不含零的自然數）
1。皮亞諾公理：
①1是自然數；
②每一個確定的自然數a，都有一個確定的後繼數a' ，a' 也是自然數（一個數的後繼數就是緊接在這個數後面的數，例如，1的後繼數是2，2的後繼數是3等）；
③如果b、c都是自然數a的後繼數，那麼b = c；
④1不是任何自然數的後繼數；
⑤任意關於自然數的命題，如果證明了它對自然數1是對的，又假定它對自然數n為真時，可以證明它對n' 也真，那麼，命題對所有自然數都真。
2。滿足上面5條公理的數的集合，叫自然數集，記作n。
n中的每個元素叫自然數。
3。自然數的運算定義
滿足 a+1=a'，a+b'=（a+b）' 的運算「+」叫自然數的加法。
滿足 a*1=a'，a*b'=a*b+a 的運算「*」叫自然數的乘法。
4。例題：
求證：2+3=5
證明：因為2+1=2'，2'=3
所以2+1=3
因為2+2=2+1'=（2+1）'=3'，3'=4
所以2+2=4
因為2+3=2+2'=（2+2）'=4'，4'=5
所以2+3=5 （證畢）
ps：聯想到很多人動不動就說自己證明了「歌德**猜想：一加一等於2」，真是有點讓人啼笑皆非！
5。自然數運算律：
加法交換律：a+b=b+a
乘法交換律：a*b=b*a
加法結合律：(a+b)+c=a+(b+c)
乘法結合律：(a*b)*c=a*(b*c)
乘法對加法的分配律：a*(b+c)=a*b+a*c
以上的運算律都是可以證明成立的，而不是想當然地，自然而然地就成立了的。
（待續）
從實數到複數，偏序結構被破壞了。不是阿基米德序了，不能規定大小
而從複數到四元數，交換率沒了，換言之，a*b不等於b*a了
再到八元數，連結合率也沒了。。。
數的範圍越來越大，性質就越來越少了。
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