1樓：匿名使用者
（k,n）表示的意思是k和n的最大公約數。這個定理的意思是元素a的階是n，a^k的階就是n除以k和n的最大公約數。
算術基本定理的證明
2樓：憀捵嶧岱
算術基本定理的最早證明是由歐幾里得給出的。而以下是用現代的陳述方式去證明。 待證命題：大於1的自然數必可寫成質數的乘積。
用反證法：假設存在大於1的自然數不能寫成質數的乘積，把最小的那個稱為n。
非零自然數可以根據其可除性（是否能表示成兩個不是自身的自然數的乘積）分成3類：質數、合數和1。首先，按照定義，n大於1。
其次，n不是質數，因為質數p可以寫成質數乘積：p=p，這與假設不相符合。因此n只能是合數，但每個合數都可以分解成兩個小於自身而大於1的自然數的積。
設其中a和b都是介於1和n之間的自然數，因此，按照n的定義，a和b都可以寫成質數的乘積。從而n也可以寫成質數的乘積。由此產生矛盾。
因此大於1的自然數必可寫成質數的乘積。 歐幾里得引理：若質數p|ab，則p|a或p|b。
證明：若p|a則證明完畢。若否，p和a的最大公約數為1。根據裴蜀定理，存在整數對(m,n)使得ma+np=1。於是b=b(ma+np) =abm+bnp。
由於p|ab，上式右邊兩項都可以被p整除。所以p|b。
再用反證法：假設有些大於1的自然數可以以多於一種的方式寫成多個質數的乘積，那麼假設n是最小的一個。
首先不是質數。將n用兩種方法寫出：
根據引理，質數
所以中有一個能被整除，即中有一個能被整除。不妨設為。但也是質數，因此。
假設，則。那麼，按照之前類似的論證，有一個能被整除，但。所以不能有，同理，也不能有，因此。
兩邊相除得，於是一個存在比小的正整數，可以用多於一種的方式寫成多個質數的乘積。
這與的最小性矛盾。
因此唯一性得證。
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