1樓：匿名使用者
《九章算術
》方田章主要論述平面圖形直線形和圓的面積計算方法.《九章算術》方田章第一題「今有田廣十五步,從十六步.問為田幾何.
」「答曰：一畝」.這裡「廣」就是寬,「從」(音縱zong)即縱,指其長度.
15*16=240平方步=1畝
《孫子算經》裡有記載：長度單位：1丈＝10尺,1尺＝10寸,1步＝6尺,1裡＝300步＝1800尺,240平方步為一畝,當時1尺＝ 23.1 cm.
九章算術裡著名的題目列舉幾個，最好是原文古文
2樓：彼岸的暗夜
〔一〕今有田廣十五步,從十六步.問為田幾何?
答曰：一畝.
〔二〕又有田廣十二步,從十四步.問為田幾何?
答曰：一百六十八步.
方田術曰：廣從步數相乘得積步.
以畝法二百四十步除之,即畝數.百畝為一頃.
〔三〕今有田廣一里,從一里.問為田幾何?
答曰：三頃七十五畝.
〔四〕又有田廣二里,從三裡.問為田幾何?
答曰：二十二頃五十畝.
裡田術曰：廣從裡數相乘得積裡.以三百七十五乘之,即畝數.
九章算術的數學成就
3樓：手機使用者
《九章算術》中的數學成就是多方面的：
（1）、在算術方面的主要成就有分數運算、比例問題和「盈不足」演算法。《九章算術》是世界上最早系統敘述了分數運算的著作，在第
二、三、六章中有許多比例問題，在世界上也是比較早的。「盈不足」的演算法需要給出兩次假設，是一項創造，中世紀歐洲稱它為「雙設法」，有人認為它是由中國經中世紀阿拉伯國家傳去的。
《九章算術》中有比較完整的分數計算方法，包括四則運算，通分、約分、化帶分數為假分數（我國古代稱為通分內子，「內」讀為納）等等。其步驟與方法大體與現代的雷同。
分數加減運算，《九章算術》已明確提出先通分，使兩分數的分母相同，然後進行加減。加法的步驟是「母互乘子，並以為實，母相乘為法，實如法而一」這裡「實」是分子。「法」是分母，「實如法而一」也就是用法去除實，進行除法運算，《九章算術》還注意到兩點：
其一是運算結果如出現「不滿法者，以法命之」。就是分子小於分母時便以分數形式保留。其二是「其母同者，直相從之」，就是分母相同的分數進行加減，運算時不必通分，使分子直接加減即可。
《九章算術》中還有求最大公約數和約分的方法。求最大公約數的方法稱為「更相減損」法，其具體步驟是「可半者半之，不可半者，副置分母子之數，以少減多，更相減損，求其等也。以等數約之。
」這裡所說的「等數」就是我們現在的最大公約數。可半者是指分子分母都是偶數，可以折半的先把它們折半，即可先約去2。不都是偶數了，則另外擺（即副置）分子分母算籌進行計算，從大數中減去小數，輾轉相減，減到餘數和減數相等，即得等數。
在《九章算術》的第
二、三、六等章內，廣泛地使用了各種比例解應用問題。粟米章的開始就列舉了各種糧食間互換的比率如下：「粟米之法：
粟率五十，糲米三十，粺米二十七，糳米二十四，……」這是說：穀子五斗去皮可得糙米三鬥，又可舂得九折米二斗七升，或八拆米二斗四升，……。例如，粟米章第一題：
「今有粟米一斗，欲為糲米，問得幾何」。它的解法是：「以所有數乘所求率為實，以所有率為法，實如法而一」。
《九章算術》第七章「盈不足」專講盈虧問題及其解法其中第一題：「今有（人）共買物，（每）人出八（錢），盈（餘）三錢；人出七（錢），不足四（錢），問人數、物價各幾何」，「答曰：七人，物價53（錢）。
」「盈不足術曰：置所出率，盈、不足各居其下。令維乘（即交錯相乘）所出率，並以為實，並盈，不足為法，實如法而一……置所出率，以少減多，餘，以約法、實。
實為物價，法為人數」。盈不足術是中國數學史上解應用問題的一種別開生面的創造，它在我國古代演算法中佔有相當重要的地位。盈不足術還經過絲綢之路西傳中亞阿拉伯國家，受到特別重視，被稱為「契丹演算法」，後來又傳入歐洲，中世紀時期「雙設法」曾長期統治了他們的數學王國。
（2）、《九章算術》總結了生產、生活實踐中大量的幾何知識，在方田、商功和勾股章中提出了很多面積、體積的計算公式和勾股定理的應用。
《九章算術》方田章主要論述平面圖形直線形和圓的面積計算方法。《九章算術》方田章第一題「今有田廣十五步，從（音縱zong）十六步。問為田幾何。
」「答曰：一畝」。這裡「廣」就是寬，「從」即縱，指其長度，「方田術曰：
廣從步數相乘得積步，（得積步就是得到乘積的平方步數）以畝法二百四十步（實質應為積步）除之，即畝數。百畝為一頃。」當時稱長方形為方田或直田。
稱三角形為圭田，面積公式為「術曰：半廣以乘正從」。這裡廣是指三角形的底邊，正從是指底邊上的高，劉徽在註文中對這一計算公式實質上作了證明：
「半廣者，以盈補虛，為直田也。」「亦可以半正從以乘廣」（圖1－30）。盈是多餘，虛乃不足。
「以盈補虛」就是以多餘部分填補不足的部分，這就是我國古代數學推導平面圖形面積公式所用的傳統的「出入相補」的方法，由上圖「以盈補虛」變圭田為與之等積的直田，於是得到了圭田的面積計算公式。 方田章第二十
七、二十八題把直角梯形稱為「邪田」（即斜田）它的面積公式是：「術曰：並兩邪（即兩斜，應理解為梯形兩底）而半之，以乘正從……，又可半正從……以乘並。
」劉徽在注中說明他的證法仍是「出入相補」法。在方田章第二十
九、三十題把一般梯形稱為「箕田」，上、下底分別稱為「舌」、「踵」，面積公式是：「術曰：並踵舌而半之，以乘正從」。
至於圓面積，在《九章算術》方田章第三十
一、三十二題中，它的面積計算公式為：「半周半徑相乘得積步」。這裡「周」是圓周長，「徑」是指直徑。
這個圓面積計算公式是正確的。只是當時取徑一週三（即π≈3）。於是由此計算所得的圓面積就不夠精密。
《九章算術》商功章收集的都是一些有關體積計算的問題。但是商功章並沒有論述長方體或正方體的體積演算法。看來《九章算術》是在長方體或正方體體積計算公式：
v=abc的基礎上來計算其他立體圖形體積的。
《九章算術》商功章提到城、垣、堤、溝、塹、渠，因其功用不同因而名稱各異，其實質都是正截面為等腰梯形的直稜柱，他們的體積計算方法：「術曰：並上、下廣而半之，以高若深乘之，又以袤乘之，即積尺」。
這裡上、下廣指橫截面的上、下底（a，b）高或深（h），袤是指城垣……的長（l）。因此城、垣…的體積計算術公式v=1/2（a+b）h.
劉徽在註釋中把對於平面圖形的出入相補原理推廣應用到空間圖形，成為「損廣補狹」以證明幾何體體積公式。
劉徽還用棋驗法來推導比較複雜的幾何體體積計算公式。所謂棋驗法，「棋」是指某些幾何體模型即用幾何體模型驗證的方法，例如長方體本身就是「棋」[圖1－32（1）]斜解一個長方體，得兩個兩底面為直角三角形的直三稜柱，我國古代稱為「塹堵」（如圖），所以塹堵的體積是長方體體積的二分之一。
《九章算術》商功章還有圓錐、圓臺（古代稱「圓亭」）的體積計算公式。甚至對三個側面是等腰梯形，其他兩面為勾股形的五面體[圖1－33（1）]，上、下底為矩形的擬
柱體（古代稱「芻童」）以及上底為一線段，下底為一矩形的擬柱體（古代稱「芻甍」）（「甍」音「夢」）等都可以計算其體積。
（3）、《九章算術》中的代數內容同樣很豐富，具有當時世界的先進水平。
1．開平方和開立方
《九章算術》中講了開平方、開立方的方法，而且計算步驟基本一樣。所不同的是古代用籌算進行演算，現以少廣章第12題為例，說明古代開平方演算的步驟，「今有積五萬五千二百二十五步。問為方几何」。
「答曰：二百三十五步」。這裡所說的步是我國古代的長度單位。
「開方（是指開平方，由正方形面積求其一邊之長。）術曰：置積為實（即指籌算中把被開方數放置於第二行，稱為實）借一算（指借用一算籌放置於最後一行，如圖1－25（1）所示用以定位）。
步之（指所借的算籌一步一步移動）超一等（指所借的算籌由個位越過十位移至百位或由百位越過千位移至萬位等等，這與現代筆算開平方中分節相當如圖1－25（2）所示）。議所得（指議得初商，由於實的萬位數字是5，而且22<5<32，議得初商為2，而借算在萬位，因此應在第一行置初商2於百位，如圖1－25（3）所示）。以一乘所借一算為法（指以初商2乘所借算一次為20000，置於「實」下為「法」，如圖1－25（4）所示）而以除（指以初商2乘「法」20000得40000，由「實」減去得：
55225-40000=15225，如圖1－25（5）所示）除已，倍法為定法，其復除，折法而下（指將「法」加倍，向右移一位，得4000為「定法」因為要求平方根的十位數字，需要把「借算」移至百位，如圖1－25（6）所示）。復置借算步之如初，以複議一乘之，所得副，以加定法，以除（這一段是指：要求平方根的十位數字，需置借算於百位。
因「實」的千位數字為15，且4×3<15<4×4，於是再議得次商為3。置3於商的十位。以次商3乘借算得3×100=300，與定法相加為4000+300=4300。
再乘以次商，則得：3×4300=12900，由「實」減去得：15225－12900=2325。
如圖1－25（7）所示，以所得副從定法，復除折下如前（這一段是指演算如前，即再以300×1+4300=4600向右移一位，得460，是第三位方根的定法，再把借算移到個位，如圖1－25（8）所示；又議得三商應為5，再置5於商的個位如圖1－25（9）所示，以5+460=465，再乘以三商5，得465×5=2325經計算恰盡如圖1－25（10）所示，因此得平方根為235。）
上述由圖1－25（1）—（10）是按算籌進行演算的，看起來似乎很繁瑣，實際上步驟十分清楚，易於操作。它的開平方原理與現代開平方原理相同。其中「借算」的右移、左移在現代的觀點下可以理解為一次變換和代換。
《九章算術》時代並沒有理解到變換和代換，但是這對以後宋、元時期高次方程的解法是有深遠影響的。
《九章算術》方程章中的「方程」是專指多元一次方程組而言，與「方程」的含義並不相同。《九章算術》中多元一次方程組的解法，是將它們的係數和常數項用算籌擺成「方陣」（所以稱之謂「方程」）。消元的過程相當於現代大學課程高等代數中的線性變換。
由於《九章算術》在用直除法解一次方程組過程中，不可避免地要出現正負數的問題，於是在方程章第三題中明確提出了正負術。劉徽在該術的註文裡實質上給出了正、負數的定義：「兩算得失相反，要令『正』、『負』以名之」。
並在計算工具即算籌上加以區別「正算赤，負算黑，否則以邪正為異」。這就是規定正數用紅色算籌，負數用黑色算籌。如果只有同色算籌的話，則遇到正數將籌正放，負數時邪（同斜）放。
宋代以後出現筆算也相應地用紅、黑色數碼字以區別正、負數，或在個位數上記斜劃以表示負數，如（即—1824），後來這種包括負數寫法在內的中國數碼字還傳到日本。
關於正、負數的加減運演算法則，「正負術曰：同名相益，異名相除，正無入負之，負無入正之。其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之」。
這裡所說的「同名」、「異名」分別相當於所說的同號、異號。「相益」、「相除」是指二數相加、相減。術文前四句是減法運演算法則：
（1）如果被減數絕對值大於減數絕對值，即a>b≥0，
則同名相益：（±a）-（±b）=±（a-b），
異名相除：（±a）-（b）=±（a+b）。
（2）如果被減數絕對值小於減數絕對值，即b>a≥0。
①如果兩數皆正
則a-b=a-[a+（b-a）]=-（b-a）。
中間一式的a和a對消，而（b-a）無可對消，則改「正」為「負」，即「正無入負之」。「無入」就是無對，也就是無可對消（或不夠減或對方為零）。
②如果兩數皆負
則（-a）-（-b）=－a-[（-a）-（b-a）]=+（b-a）。在中間的式子裡（-a）和（-a）對消，而-（b-a）無可對消，則改「負」為「正」所以說「負無入正之」。
③如果兩數一正一負。則仍同（1）的異名相益。
術文的後四句是指正負數加法運演算法則。
（1）同號兩數相加，即同名相益，其和的絕對值等於兩數絕對值和。
如果a>0，b>0，
則a+b=a+b，（-a）+（-b）=-（a+b）
（2）異號兩數相加，實為相減，即異名相除。如果正數的絕對值較大，其和為正，即「正無入正之」。如果負數的絕對值較大，其和為負，即「負無入負之」。用符號表示為
①如果a>b≥0，
則 a+（-b）=[b+（a-b）]+（-b）=a-b，
或 （-a）+b=[（-b）－（a-b）]+b=-（a-b）。
②如果b>a≥0，
則 a+（-b）=a+[（-a）-（b-a）]=-（b-a），
或 （-a）+b=（-a）+[a+（b-a）]=b-a。
關於正負數的乘除法則，在《九章算術》時代或許會遇到有關正負數的乘除運算。可惜書中並未論及，直到元代朱世傑於《算學啟蒙》（2023年）中才有明確的記載：「同名相乘為正，異名相乘為負」，「同名相除所得為正，異名相除所得為負」，因此至遲於13世紀末我國對有理數四則運演算法則已經全面作了總結。
至於正負數概念的引入，正負數加減運演算法則的形成的歷史記錄，我國更是遙遙領先。國外首先承認負數的是七世紀印度數學家婆羅門岌多（約598-？）歐洲到16世紀才承認負數。
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