1樓：匿名使用者
令a=1+2+3+…+n=n(n+1)/2令b=1^2+2^2+3^2+…+n^2
令c=1^3+2^3+..n^3
n^3-(n-1)^3= 3n^2 -3n +1(n-1)^3-(n-2)^3=3n^2-9n+7= 3(n-1)^2-3(n-1)+1
(n-2)^3-(n-3)^3=3n^2-15n+19=3(n-2)^2-3(n-2)+1
兩邊求和得。
n^3=3b-3 a+n
解得 b=n(2n+1)(n+1)/6
n^4-(n-1)^4= 4n^3 -6n^2 +4n -1(n-1)^4-(n-2)^4=4(n-1)^3-6(n-1)^2+4(n-1)-1
兩邊相加。n^4=4c-6b+4a-n
解之得。c=[n(n+1)/2]^2=(1+2+3+..n)^2
2樓：小小崇煥
1^3+2^3+3^3+……n^3=[n(n+1)/2]^2 證明：
綜上所述，觀察得知：
1^3+2^3+3^3+……n^3=(1+2+3+……n)^2=n^2(n+1)^2/4
當n=1時，結論顯然成立。
若n=k時，結論假設也成立。
1^3+2^3+3^3+……k^3=k^2(k+1)^2/4則n=k+1時有。
1^3+2^3+3^3+……k^3+(k+1)^3=k^2(k+1)^2/4+(k+1)^3=(k+1)^2(k^2+4k+4)/4
=(k+1)^2(k+2)^2/4
所以 1^3+2^3+3^3+……n^3=n^2(n+1)^2/4數學歸納法。
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