1樓：
布思演算法（booth
algorithm）的簡單理解方法：
由於是第一次接觸，對於其原理卻一無所知，書上的解釋以及網上的文章不知是自己才疏學淺還本來就是泛泛而談，沒有讓我瞭解其本質。經過長時間的思考分析，最終找到了一種比較簡單的理解方法。
舉一個簡單的例子，比如說計算×，在這裡首先將乘數改寫為 -
即-這樣根據乘法分配律得×=×（0100）
類似於booth演算法的重新編碼形式，再將上述算式改寫為
×=×0+1
+ × -1 0
最終再將上式合併到一起，可得由booth演算法改寫後的編碼形式： × 0+10000-10
由此可見，乘數的數段"01"可以重新編碼為「+1」,數段「10」可以重新編碼為「-1」，數段「11」可重新編碼為「0」
根據無符號二進位制數乘法的過程可知，當乘數段為「00」只是對乘數進行了右移操作，故重新編碼為「0」
由於上述推導過程是根據二進位制數加減以及乘法分配律推導而來的，故對於由補碼錶示的負數乘法同樣適用
booth演算法的證明
2樓：匿名使用者
比較好的帶符號數乘法的方法是布斯(booth)演算法。它採用相加和相減的操作計算補碼資料的乘積。booth演算法對乘數從低位開始判斷，根據兩個資料位的情況決定進行加法、減法還是僅僅移位操作。
判斷的兩個資料位為當前位及其右邊的位(初始時需要增加一個輔助位0)，移位操作是向右移動。在上例中，第一次判斷被乘數0110中的最低位0以及右邊的位(輔助位0)，得00；所以只進行移位操作；第二次判斷0110中的低兩位，得10，所以作減法操作並移位，這個減法操作相當於減去2a的值；第三次判斷被乘數的中間兩位，得11，於是只作移位操作；第四次判斷0110中的最高兩位，得01，於是作加法操作和移位，這個加法相當於加上8a的值，因為a的值已經左移了三次。
一般而言，設y=y0,yly2…yn為被乘數，x為乘數，yi是a中的第i位(當前位)。根據yj與yi+1的值，booth演算法表示如下表所示，其操作流程如下圖所示。在booth演算法中，操作的方式取決於表示式(yi+1-yi)的值，這個表示式的值所代表的操作為：
0 無操作
+1 加x
-1 減x
booth演算法操作表示
yi yi+1 操作 說明
0 0 無 處於0串中，不需要操作
0 1 加x 1串的結尾
1 0 減x 1串的開始
1 1 無 處於1串中，不需要操作
乘法過程中，被乘數相對於乘積的左移操作可表示為乘以2，每次迴圈中的運算可表示為對於x(yi+1-yi)2^31-i項的加法運算(i=3l，30，…，1，0)。這樣，booth演算法所計算的結果 可表示為：
x×(0-y31)×2^0
+x×(y31-y30)×2^1
+x×(y30-y29)×2^2
…[1] +x×(y1-y0)×2^31
=x×(-y0×231 +y1×2^30 +y2×2^29+y31×2^0)
=x×y
例：用booth演算法計算2×(-3)。
解：[2]補=0010， [-3]補=1101，在乘法開始之前，r0和r1中的初始值為0000和1101，r2中的值為0010。
在乘法的第一個迴圈中，判斷r1的最低位和輔助位為10，所以進入步驟1c，將r0的值減去r2的值，結果1110送人r0，然後進入第二步，將r0和rl右移一位，r0和r1的結果為11110110，輔助位為l。
在第二個迴圈中，首先判斷rl的最低位和輔助位為0l，所以進入步驟1b，作加法，r0+r2=1111+0010，結果0001送入r0，這時r0r1的內容為0001 0110，在第二步右移後變為0000 1011，輔助位為0。
在第三次迴圈中，判斷位為10，進入步驟lc，r0減去r2，結果1110送入r0，r1不變；步驟2移位後r0和r1的內容為1111 01011，輔助位為1。
第四次迴圈時，因兩個判斷位為11，所以不作加減運算，向右移位後的結果為1111 1010，這就是運算結果(—6)。
這個乘法的過程描述如下表所示，表中乘積一欄表示的是r0、r1的內容以及一個輔助位p，黑體字表示對兩個判斷位的判斷。
用booth補碼一位乘法計算2 ×(-3)的過程
迴圈步驟
乘積（r0,r1, p）
0初始值
0000 1101 0
第一次迴圈
1c：減0010
1110 1101 0
2：右移1位
1111 0110 1
第二次迴圈
1b：加0010
0001 0110 1
2：右移1位
0000 1011 0
第三次迴圈
1c：減0010
1110 1011 0
2：右移1位
1111 0101 1
第四次迴圈
1a：無操作
1111 0101 1
2：右移1位
1111 1010 1
4．補碼兩位乘
補碼兩位乘運算規則是根據補碼一位乘的規則，把比較yiyi+1的狀態應執行的操作和比較yi-1yi 的狀態應執行的操作合併成一步，便可得出補碼兩位乘的運算方法。
補碼兩位乘法運算規則如下
判斷位yi-1y iyi+1
操作內容
000[zi+1]補=2-2[zi]補
001[zi+1]補=2-2
010[zi+1]補=2-2
011[zi+1]補=2-2
100[zi+1]補=2-2
101[zi+1]補=2-2
110[zi+1]補=2-2補}
111[zi+1]補=2-2[zi]補
由上表可見，操作中出現加2[x]補和加2[-x]補，故除右移兩位的操作外，還有被乘數左移一位的操作；而加2[x]補和加2[-x]補，都可能因溢位而侵佔雙符號位，故部分積和被乘數採用三位符號位。
例：[x]補=0.0101，[y]補=1.0101 求： [x
關於booth演算法乘法的問題 求步驟 我的結果為什麼移位相加完是11110011010
3樓：千鋒教育
比較好的帶符號數乘法的方法是布斯(booth)演算法.它採用相加和相減的操作計算補碼資料的乘積.booth演算法對乘數從低位開始判斷,根據兩個資料位的情況決定進行加法、減法還是僅僅移位操作.
判斷的兩個資料位為當前位及其右邊的位(初始時需要增加一個輔助位0),移位操作是向右移動.在上例中,第一次判斷被乘數0110中的最低位0以及右邊的位(輔助位0),得00；所以只進行移位操作；第二次判斷0110中的低兩位,得10,所以作減法操作並移位,這個減法操作相當於減去2a的值；第三次判斷被乘數的中間兩位,得11,於是只作移位操作；第四次判斷0110中的最高兩位,得01,於是作加法操作和移位,這個加法相當於加上8a的值,因為a的值已經左移了三次.
一般而言,設y=y0,yly2…yn為被乘數,x為乘數,yi是a中的第i位(當前位).根據yj與yi+1的值,booth演算法表示如下表所示,其操作流程如下圖所示.在booth演算法中,操作的方式取決於表示式(yi+1-yi)的值,這個表示式的值所代表的操作為：
0 無操作
+1 加x
-1 減x
booth演算法操作表示
yi yi+1 操作 說明
0 0 無 處於0串中,不需要操作
0 1 加x 1串的結尾
1 0 減x 1串的開始
1 1 無 處於1串中,不需要操作
乘法過程中,被乘數相對於乘積的左移操作可表示為乘以2,每次迴圈中的運算可表示為對於x(yi+1-yi)2^31-i項的加法運算(i=3l,30,…,1,0).這樣,booth演算法所計算的結果 可表示為：
x×(0-y31)×2^0
+x×(y31-y30)×2^1
+x×(y30-y29)×2^2
…[1] +x×(y1-y0)×2^31
=x×(-y0×231 +y1×2^30 +y2×2^29+y31×2^0)
=x×y
例：用booth演算法計算2×(-3).
[2]補=0010, [-3]補=1101,在乘法開始之前,r0和r1中的初始值為0000和1101,r2中的值為0010.
在乘法的第一個迴圈中,判斷r1的最低位和輔助位為10,所以進入步驟1c,將r0的值減去r2的值,結果1110送人r0,然後進入第二步,將r0和rl右移一位,r0和r1的結果為11110110,輔助位為l.
在第二個迴圈中,首先判斷rl的最低位和輔助位為0l,所以進入步驟1b,作加法,r0+r2=1111+0010,結果0001送入r0,這時r0r1的內容為0001 0110,在第二步右移後變為0000 1011,輔助位為0.
在第三次迴圈中,判斷位為10,進入步驟lc,r0減去r2,結果1110送入r0,r1不變；步驟2移位後r0和r1的內容為1111 01011,輔助位為1.
第四次迴圈時,因兩個判斷位為11,所以不作加減運算,向右移位後的結果為1111 1010,這就是運算結果(—6).
這個乘法的過程描述如下表所示,表中乘積一欄表示的是r0、r1的內容以及一個輔助位p,黑體字表示對兩個判斷位的判斷.
用booth補碼一位乘法計算2 ×(-3)的過程
迴圈步驟
乘積（r0,r1, p）
0初始值
0000 1101 0
第一次迴圈
1c：減0010
1110 1101 0
2：右移1位
1111 0110 1
第二次迴圈
1b：加0010
0001 0110 1
2：右移1位
0000 1011 0
第三次迴圈
1c：減0010
1110 1011 0
2：右移1位
1111 0101 1
第四次迴圈
1a：無操作
1111 0101 1
2：右移1位
1111 1010 1
4．補碼兩位乘
補碼兩位乘運算規則是根據補碼一位乘的規則,把比較yiyi+1的狀態應執行的操作和比較yi-1yi 的狀態應執行的操作合併成一步,便可得出補碼兩位乘的運算方法.
補碼兩位乘法運算規則如下
判斷位yi-1y iyi+1
操作內容
000[zi+1]補=2-2[zi]補
001[zi+1]補=2-2
010[zi+1]補=2-2
011[zi+1]補=2-2
100[zi+1]補=2-2
101[zi+1]補=2-2
110[zi+1]補=2-2補}
111[zi+1]補=2-2[zi]補
由上表可見,操作中出現加2[x]補和加2[-x]補,故除右移兩位的操作外,還有被乘數左移一位的操作；而加2[x]補和加2[-x]補,都可能因溢位而侵佔雙符號位,故部分積和被乘數採用三位符號位.
例：[x]補=0.0101,[y]補=1.0101 求： [x? y]補.
求解過程如下表所示.其中乘數取兩位符號位即11.0101,[-x]補=1.1011取三符號位為111.1011.
部分積乘數 說 明
000.0000
+ 000.0101
1101010
判斷位為010,加[x]補
000.0101
000.0001
+ 000.0101
0111010
→2位判斷位為010,加[x]補
000.0110
000.0001
+ 111.1011
011001110
→2位判斷位為110,加[-x]補
111.1100
1001
最後一步不移位,得[x? y]補
故[x? y]補=1.11001001
可見,與補碼一位乘相比,補碼兩位乘的部分積多取一位符號位（共3位）,乘數也多取一位符號位（共2位）,這是由於乘數每次右移2位,且用3位判斷,故採用雙符號位更便於硬體實現.可見,當乘數數值位為偶數時,乘數取2位符號位,共需作n/2次移位,最多作n/2+1次加法,最後一步不移位；當n為奇數時,可補0變為偶數位,以簡化邏輯操作.也可對乘數取1位符號位,此時共作n/2+1次加法和n/2+1次移位（最後一步移一位）.
對於整數補碼乘法,其過程與小數乘法完全相同.為了區別於小數乘法,在書寫上可將符號位和數值位中間的「.」改為「,」即可.
再補充一道例子,增加一下理解.呵呵
例1.37 設被乘數m=0111（7）,乘數q=0011（3）,相乘過程如下：(其中的①②……是我自己加上去的)
a q q-1
①0000 0011 0 初始值
②1001 0011 0 a=a-m
③1100 1001 1 右移（第1次迴圈）
④1110 0100 1 右移（第2次迴圈）
⑤0101 0100 1 a=a+m
⑥0010 1010 0 右移（第3次迴圈）
⑦0001 0101 0 右移（第4次迴圈）
乘法運算結束後,所得結果共8位,a暫存器中是乘積的高位部分,q暫存器中是乘積的低位部分,即乘積=0010101=(21)(十進位制）
例1.38 設被乘數m=0111(7),乘數q＝1101（－3）,相乘過程如下：
a q q－1
0000 1101 0 初始值
1001 1101 0 a＝a－m
1100 1110 1 右移（第1次迴圈）
0011 1110 1 a＝a＋m
0001 1111 0 右移（第2次迴圈）
1010 1111 0 a＝a－m
1101 0111 1 右移（第3次迴圈）
1110 1011 1 右移（第4次迴圈）
乘積=11101011=(-21)(十進位制)
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