1樓:匿名使用者
反證法:若根號
2加根號3是分數(即整數與整數的比)或說是有理數吧則平方以版後也應是有理權數即5+2根號6也是有理數即根號6是有理數顯然根號6只能是分數,不妨設此分數約至最簡時為b/a 則a,b互質,否則還可約 6=b^2/a^2 即b^2=6a^2 所以b^2為6的倍數(即為2,3的倍數)所以b為2,3的倍數(即為6的倍數)所以b^2為36的倍數,即6a^2為36的倍數推得a^2被6整除,矛盾於a,b互質因此根號6是無理數,即根號2加根號3是無理數
請證明:根號三是無理數
2樓:風之鷂
^^1、假設根號3=p/q(p、q為互質整數),則p^2=3q^2
所以3整除p^2,因3是質數,所以3整除p,可設p=3t,則q^2=3t^2,所以3整除q
因此p和q有公約數3,與p和q互質矛盾,所以根號3是無理數
2、設x=根號3,則有方程x^2=3
假設x^2=3有有理數解x=p/q(p、q為互質整數),根據牛頓有理根定理p整除3,q整除1,所以p=1或3,q=1,從而x=1或3,顯然x=1或3不是方程x^2=3的根,矛盾.
3、設x=根號3=p/q,(p,q)=1,所以存在整數s,t使ps+qt=1
根號3=根號3*1=根號3(ps+qt)=(√**)s+(√3q)t=3qs+pt為整數,矛盾
拓展資料:
由無理數引發的數學危機一直延續到19世紀下半葉。2023年,德國數學家戴德金從連續性的要求出發,用有理數的「分割」來定義無理數,並把實數理論建立在嚴格的科學基礎上,從而結束了無理數被認為「無理」的時代,也結束了持續2000多年的數學史上的第一次大危機。
3樓:匿名使用者
^證明根號3是無理數,使用反證法
如果√3是有理數,必有√3=p/q(p、q為互質的正整數)兩邊平方:3=p^2/q^2
p^2=3q^2
顯然p為3的倍數,設p=3k(k為正整數)有9k^2=3q^2 即q^2=3k^2
於是q於是3的倍數,與p、q互質矛盾
∴假設不成立,√3是無理數
4樓:雄鷹
分析:1有理數的概念:
「有限小數」和「無限迴圈小數」統稱為有理數。
整數和分數也統稱為有理數。
所有的分數都是有理數,分子除以分母,最終一定是迴圈的。
2無理數的概念:無限不迴圈小數,可引申為「開方開不盡的數」。
3反證法的要領是假設一個明顯荒謬的結論成立,然後正確地證明原假設是錯誤的。
解:假設(√3)是有理數,
∵ 1<3<4
∴(√1)<(√3)<(√4)
即:1<(√3)<2
∴(√3)不是整數。
∵整數和分數也統稱為有理數,而(√3)不是整數
∴在假設「(√3)是有理數」的前提下,(√3)只能是一個分子分母不能約分的分數。
此時假設 (√3) = m/n(m、n均為正整數且互質,二者不能再約分,即二者除1外再無公因數)
兩邊平方,得:
m2 / n2 = 3
∴m2 是質數3的倍數
我們知道,如果兩個數的乘積是3的倍數,那麼這兩個數當中至少有一個數必是3的倍數。
∴由「m2 (m與m的乘積) 是質數3的倍數」得:正整數m是3的倍數。
此時不妨設 m = 3k(k為正整數)
把「m = 3k」 代入「m2 / n2 = 3」 ,得:
(9k2) / n2 = 3
∴3k2 = n2
即:n2 / k2 = 3
對比「m2 / n2 = 3「 同理可證
正整數n也是3的倍數
∴正整數m和n均為3的倍數
這與「m、n均為正整數且互質」相矛盾。
意即由原假設出發推出了一個與原假設相矛盾的結論,
∴原假設「(√3) = m/n(m、n均為正整數且互質,二者不能再約分,即二者除1外再無公因數)」是不成立的。
∴(√3) 不能是一個分子分母不能約分的分數
而已證(√3) 不是整數
∴(√3) 既 不是整數也不是分數,即(√3) 不是有理數。
∴(√3) 是無理數。
5樓:遲沛山告琳
方法一:假設根號3=p/q(p、q為互質整數),則p^2=3q^2
所以3整除p^2,因3是質數,所以3整除p,可設p=3t,則q^2=3t^2,所以3整除q
因此p和q有公約數3,與p和q互質矛盾,所以根號3是無理數
方法二:設x=根號3,則有方程x^2=3
假設x^2=3有有理數解x=p/q(p、q為互質整數),根據牛頓有理根定理p整除3,q整除1,所以p=1或3,q=1,從而x=1或3,顯然x=1或3不是方程x^2=3的根,矛盾。
方法三:設x=根號3=p/q,(p,q)=1,所以存在整數s,t使ps+qt=1
根號3=根號3*1=根號3(ps+qt)=(√**)s+(√3q)t=3qs+pt為整數,矛盾
6樓:樸卉吾嘉懿
^反證:假設根號3是有理數,則存在兩個互質整數m和n使得根號3=m/n.兩邊平方並整理得m^2=3n^2,
於是m是3的倍數,令m=3q,
代入上式整理得:n^2=3q^2,
故n也是3的倍數,這與m,n互質矛盾。故根號3是無理數。證畢。
怎樣證明根號3是無理數
7樓:**座小茶葉
用反證bai法。假設√3是有理數,du則任何一個zhi有理數都可以表示為既約
dao分數m/n(即內:m、n為整數,且互質容)因此√3=m/n,得3=m^2/n^2,即m^2=3*n^2,因此m^2含有3的因數,因此m含有3的因數
假設m=**,則:(**)^2=3*n^2,得n^2=**^2,因此n^2含有3的因數,因此n含有3的因數
所以,m、n均含有3的因素,與m、n互為質數矛盾,因此√3是無理數這是一個通用的證法,可以證明√2、√5、√6等等是無理數。
8樓:匿名使用者
^^:假設√3是
。1^2< (√3)^2<2^2
1<√3<2,所以√3不是整數,
設√3=p/q ,p和q
把 √3=p/q 兩邊平內方
3=(p^2)/(q^2)
3(q^2)=p^2
3q^2是3的倍數數,p 必定
容3的倍數,設p=3k
3(q^2)=9(k^2)
q^2=3k^2
同理q也是3的倍數數,
這與前面假設p,q
矛盾。因此√3是
。這是別人的答案
9樓:都夏煙梅海
^呵,試試來看假設√3是有理數,不妨令:源√3=baip/q 其中(p,q)=1
則有,p^du2=3q^2
因為zhi(p,q)=1,所以(p^2,q^2)=1故可dao得:3|p^2
得:3|p^2
故可設p=3k
由√3=p/q得√3=3k/q (k,q)=1得:q=3k^2
由上,同樣可證:3|q^2
因此,3是p^2與q^2的公約數
這與(p,q)=1矛盾。
綜上所述,√3為無理數。
注:(p,q)=1是p,q互質的意思。
如何證明根號3是無理數???????
10樓:淺唱湘雪
剛做過這種題目......我想想哈。
無理數是不能夠被寫成兩個整數比的
設根號3=a/b(a和b是互版質的整數,公約數權只有1)
則3=a2/b2
∴a2=3b2
可以得出a是3的倍數 ,設a=3n
∴(3n)2=3b2
這就跟a/b中a和b是互質的兩個整數相悖逆,因為a和b有公約數3,也就是用反證法的方式證明根號3是無理數
全部手打tat
11樓:匿名使用者
^方法一來:假設根號3=p/q(p、q為互質整數),源則p^2=3q^bai2
所以du3整除
zhip^2,因3是質dao
數,所以3整除p,可設p=3t,則q^2=3t^2,所以3整除q因此p和q有公約數3,與p和q互質矛盾,所以根號3是無理數方法二:設x=根號3,則有方程x^2=3
假設x^2=3有有理數解x=p/q(p、q為互質整數),根據牛頓有理根定理p整除3,q整除1,所以p=1或3,q=1,從而x=1或3,顯然x=1或3不是方程x^2=3的根,矛盾。
方法三:設x=根號3=p/q,(p,q)=1,所以存在整數s,t使ps+qt=1
根號3=根號3*1=根號3(ps+qt)=(√**)s+(√3q)t=3qs+pt為整數,矛盾
12樓:晁溫嶽雁
證明:若
3是有理bai數,則3=p/q;(p,q是du互素的整數zhi,即p,q的最大
dao約數是1)
則有3q=p;
則可令p=3k;(k大於專0的整數)
可得q=k;
但是k,3k的最大公約數為
屬k即p,q的最大公約數為k;
這與最大公數約為1矛盾。
故3不是有理數,即是無理數。
13樓:脫廷謙頻鵑
設根號3不是無理復
數,設制根號三=p/q(有理數可寫成分數形式,pq是互質的兩正整數)兩邊平方p^2=3q^2
p是3的倍數
設p=3m(m為正整數)
9m^2=3q^2
q^2=3m^2
q也是3的倍數
與pq互質相矛盾。所以根號3不是有理數。
14樓:軍毅應依薇
剛做種復
題目......我想制想哈
理數能夠寫兩整數比
設根號bai
3=a/b(ab互質整數
公約數du
1)則3=a2/b2
∴zhia2=3b2
a3倍數
設a=3n
∴(3n)2=3b2
跟a/bab互質兩整數相dao悖逆ab公約數3用反證式證明根號3理數全部手打tat
15樓:瑞嫚書香天
假設根號bai3是無理數,則根號3可以表示為duq/p(其中q.p互質zhi)
所以有3=q^dao2/p^2
q^2=**^2
顯然,q含有3這個約數.所以q^2是9的倍數.所以p^2是3的倍數只有含有3這個約數的平方才有3的倍數.
所以p也是3的倍數既然q.p都是3的倍數.與原先假設的,qp互質矛盾.
所以根號3是無理數.
16樓:匿名使用者
用反證法
假設根號
bai3是有理數,du則必然能寫成最簡分zhi數n/m,n與m為互質整數。
令 根號dao3=x
x的平內方=3=n的平方/m的平方
3為正整容數,同時也是有理數,n的平方與m的平方互質(由n與m為互質整數得出)即不存在公約數,則m的平方必為1(不然無法等於一個整數3) 3=n的平方=x的平方
推出根號3=x=n, 由於n為整數,則根號3也為整數,顯然是不對的,所以
根號3為無理數
證明根號3是無理數，怎麼證明根號三是無理數
反證法 假設 3是有理數。1 2 3 2 2 2 1 3 2,所以 3不是整數，設 3 p q p和q互質 把 3 p q 兩邊平方 3 p 2 q 2 3 q 2 p 2 3q 2是3的倍數數，p 必定3的倍數，設p 3k3 q 2 9 k 2 q 2 3k 2 同理q也是3的倍數數，這與前面假設...
如何證明根號三是無理數，如何證明根號3是無理數
分析 有理數的概念 有限小數 和 無限迴圈小數 統稱為有理數。整數和分數也統稱為有理數。所有的分數都是有理數，分子除以分母，最終一定是迴圈的。無理數的概念 無限不迴圈小數，可引申為 開方開不盡的數 反證法的要領是假設一個明顯荒謬的結論成立，然後正確地證明原假設是錯誤的。解 假設 3 是有理數，1 3...
如何證明根號2加根號3再加根號5是無理數
反證法 若根號2加根號3是分數 即整數與整數的比 或說是有理數吧 則平方以後也應是有理數 即5 2根號6也是有理數 即根號6是有理數 顯然根號6只能是分數,不妨設此分數約至最簡時為b a則a,b互質,否則還可約 6 b 2 a 2 即b 2 6a 2 所以b 2為6的倍數 即為2,3的倍數 所以b為...