1樓：匿名使用者
微分幾何起源於古典微分幾何，就是研究三維歐氏空間中的曲線和曲面的數學分支。這個分支從微積分建立伊始就開始了，高斯把它系統化，並且發現了內蘊幾何。 粗略地說，內蘊幾何的含義就是不需要藉助於三維歐氏空間就可以刻畫曲面的性質。
這使得曲面可以脫離三維空間而獨立存在。黎曼把這個理論發展為黎曼幾何，可以研究任意維數的彎曲空間。經過黎曼、ricci、levi-civita 等人的推動，流形、張量、聯絡、曲率等等概念都建立起來了。
這就是微分流形理論的雛形。這時候的微分流形是用區域性座標來刻畫的，就如同老師教地理的時候給你一本世界地圖冊卻不拿地球儀來一樣，地理老師甚至都不能明確地告訴你，我們生活在一個大致是球面的世界上，地理課就這麼開下去了。 廣義相對論就是在這麼一個背景下建立的。
除了廣義相對論，分析力學也可以用類似的方式來描述（儘管它產生得更早）.此外，李群理論也在這樣一個背景下，用大致相似的方式建立起來了。德國的女數學家 noether 建立了（拉格朗日系統和哈密頓系統的）守恆律和連續對稱性之間的關係，這就是著名的 noether 定理。
這些都促使物理學家關注微分幾何理論。 現代微分流形理論的體系主要是在 weyl、whitney、cartan 等人的工作基礎上建立的。儘管基本的研究物件和黎曼以來沒有太大的變化，但是在概念上都大大地深化和細化了。
打個比喻，這就像地理老師搬來了地球儀來上課一樣，並進而從地球講到了整個宇宙，特別是地球在宇宙中的地位，毫無疑問地擴大了學生的視野、深化了學生的認識。 黎曼幾何只是微分流形理論中的一個分支而已。當然也是最基本的一個分支。
和 lagrange 力學相關的幾何與切叢密切相關，和 hamilton 力學相關的幾何則是辛幾何這個分支。lie 群理論也是一個相當重要和基本的分支。可以說，這些分支都是物理學的各種基本理論的基礎。
纖維叢理論也是微分流形理論的一個分支。它不僅在數學中重要，對於現代物理學中的量子力學、經典和量子場論、粒子物理學等等，都起著基礎的支撐作用。
古典微分幾何主要研究什麼內容
2樓：立言與徳
簡單地說，研究三維歐氏空間中的曲線、曲面。
什麼是微分幾何？
3樓：網友
微分幾何學是運用數學分析的理論研究曲線或曲面在它一點鄰域的性質，換句話說，微分幾何是研究一般的曲線和曲面在「小範圍」上的性質的數學分支學科。 微分幾何學的產生和發展是和數學分析密切相連的。在這方面第一個做出貢獻的是瑞士數學家尤拉。
2023年他首先引進了平面曲線的內在座標這一概念，即以曲線弧長這以幾何量作為曲線上點的座標，從而開始了曲線的內在幾何的研究。
十八世紀初，法國數學家蒙日首先把微積分應用到曲線和曲面的研究中去，並於2023年出版了它的《分析在幾何學上的應用》一書，這是微分幾何最早的一本著作。在這些研究中，可以看到力學、物理學與工業的日益增長的要求是促進微分幾何發展的因素。
2023年，高斯發表了《關於曲面的一般研究》的著作，這在微分幾何的歷史上有重大的意義，它的理論奠定了現代形式曲面論的基礎。微分幾何發展經歷了150年之後，高斯抓住了微分幾何中最重要的概念和帶根本性的內容，建立了曲面的內在幾何學。其主要思想是強調了曲面上只依賴於第一基本形式的一些性質，例如曲面上曲面的長度、兩條曲線的夾角、曲面上的一區域的面積、測地線、測地線曲率和總曲率等等。
他的理論奠定了近代形式曲面論的基礎。
2023年克萊因在德國埃爾朗根大學作就職演講時，闡述了《埃爾朗根綱領》，用變換群對已有的幾何學進行了分類。在《埃爾朗根綱領》發表後的半個世紀內，它成了幾何學的指導原理，推動了幾何學的發展，導致了射影微分幾何、仿射微分幾何、共形微分幾何的建立。特別是射影微分幾何起始於2023年阿爾方的學位**，後來2023年起經以威爾辛斯基為代表的美國學派所發展，2023年起又經以富比尼為首的義大利學派所發展。
隨後，由於黎曼幾何的發展和愛因斯坦廣義相對論的建立，微分幾何在黎曼幾何學和廣義相對論中的得到了廣泛的應用，逐漸在數學中成為獨具特色、應用廣泛的獨立學科。
4樓：我是老表
微分幾何是運用數學分析的理論，研究曲線或曲面在它一點鄰域的性質。換句話說，微分幾何是研究一般的曲線和曲面在「小範圍」的性質的數學學科。
微分幾何學的產生和發展是和數學分析密切相連的。在這方面第一個做出貢獻的是瑞士數學家尤拉。2023年，高斯發表了《關於曲面的一般研究》，奠定了現代曲面論的基礎。
微分幾何學以光滑曲線(面)作為研究物件，所以整個微分幾何學是由曲線的弧線長、曲線上一點的切線等概念的。由於運用了數學分析的理論進行研究，就可以將一些複雜的依賴關係變成線性的，不均勻的過程也可以變成均勻的，這些都是微分幾何特有的研究方法。
微分幾何在力學和一些工程技術問題方面有廣泛的應用。
5樓：匿名使用者
將幾何分成幾個微笑的部分。
研究生學微分幾何需要看哪些書
6樓：立言與徳
f. w. warner 的 foundation of differentiable manifolds and lie groups 是一本相當好的入門書。
這本書只講了微分流形最基本的結構，然後就講了lie群的基礎知識。陳省身和陳維桓的《微分幾何講義》則講了度規、聯絡、曲率這些結構。原則上，只看後者是可以的，但是，如果你時間容許，還是建議仔細讀一下第一本書，它可以幫你打一個好的基礎。
流形，微分幾何研究的具體是什麼？能不能用簡單的話總結一下
7樓：水城
微分幾何研究曲線和曲面。研究隨位置變化的座標系。研究曲線和曲面的基本特徵，包括曲率，撓率，基本型等。
從而可以對曲線和曲面進行分類，研究共同特性。比如可以研究漸開線，可展曲面，包絡，最小曲面，測地線等。
微分幾何和泛函分析是兩本書，請問數學專業研究生階段，研究方向:有「微分幾何」和「泛函分析」是什麼意思
8樓：漫路長歌
微分幾何正如字面一樣是從微積分來研究幾何，目前前沿領域與物理問題關係較大。大體上說是研究流形上的張量場，微分運算元，度規等進而研究流形的性質的幾何，但是由於各種方面的交叉，與拓撲，代數幾何，復幾何等都有交叉，對任何研究幾何的人，微分幾何都是重要的一部分。對物理來說，廣義相對論最先建立了微分幾何與物理的聯絡，而dirac場和yang-mills的耦合相當於一個扭曲自旋流形，量子場論的反常以及各種性質來自於流形的拓撲障礙，以及拓撲性質，π介子能衰變正來自於此。
隨後發現物理理論對於研究微分幾何，比如證明本來涉及k理論，上同調理論代數幾何以及微分幾何等集大成的as指標定理有很大幫助，出現了拓撲量子場論。
泛函分析最初來自於上世紀三十年代之後對變分法，積分方程，cw復形等流形的拓撲障礙和性質分析（比如morse理論）、量子力學的數學嚴謹化、運算元以及路徑積分理論的研究，相當於無窮維數的空間的微積分以及幾何學，也是相當有應用空間的技術。
9樓：網友
兩個都是很大的研究方向。
一般，看到大學裡的一門課，就表示它背後是個非常大的方向。
10樓：匿名使用者
指的是幾何方向和分析方向。
微分幾何在物理學哪些分支中有應用?
11樓：匿名使用者
微分幾何除了在廣義相對論中，還在物質結構研究中有用，比如液晶結構。
微分幾何是拓撲的高階版，拓撲學是零階的微分幾何。
群和拓撲與微分結構的結構不同，是他們的兄弟理論。
對補充問題：是的，特別在物質結構方面有應用。
12樓：匿名使用者
微分在相對論裡有應用嗎？。。主要的思想不是微分吧。微分的思想最重要的物理裡面熱統有應用！
群論和拓撲學主要用的都是線性代數。
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